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A084558 a(0) = 0; for n >= 1: a(n) = largest m such that n >= m!.

%I A084558 #80 Aug 22 2025 07:01:22
%S A084558 0,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,
%T A084558 4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,
%U A084558 4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5
%N A084558 a(0) = 0; for n >= 1: a(n) = largest m such that n >= m!.
%C A084558 For n >= 1, a(n) = the number of significant digits in n's factorial base representation (A007623).
%C A084558 After zero, which occurs once, each n occurs A001563(n) times.
%C A084558 Number of iterations (...(f_4(f_3(f_2(n))))...) such that the result is < 1, where f_j(x):=x/j. - _Hieronymus Fischer_, Apr 30 2012
%C A084558 For n > 0: a(n) = length of row n in table A108731. - _Reinhard Zumkeller_, Jan 05 2014
%D A084558 F. Smarandache, "f-Inferior and f-Superior Functions - Generalization of Floor Functions", Arizona State University, Special Collections.
%H A084558 Reinhard Zumkeller, <a href="/A084558/b084558.txt">Table of n, a(n) for n = 0..10000</a>
%H A084558 Yi Yuan and Zhang Wenpeng, <a href="http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/S-analogue-f.pdf">On the Mean Value of the Analogue of Smarandache Function</a>, Smarandache Notions J., Vol. 15.
%F A084558 From _Hieronymus Fischer_, Apr 30 2012: (Start)
%F A084558 a(n!) = a((n-1)!)+1, for n>1.
%F A084558 G.f.: 1/(1-x)*Sum_{k>=1} x^(k!).
%F A084558 The explicit first terms of the g.f. are: (x+x^2+x^6+x^24+x^120+x^720...)/(1-x).
%F A084558 (End)
%F A084558 Other identities:
%F A084558 For all n >= 0, a(n) = A090529(n+1) - 1. - _Reinhard Zumkeller_, Jan 05 2014
%F A084558 For all n >= 1, a(n) = A060130(n) + A257510(n). - _Antti Karttunen_, Apr 27 2015
%F A084558 a(n) ~ log(n^2/(2*Pi)) / (2*LambertW(log(n^2/(2*Pi))/(2*exp(1)))) - 1/2. - _Vaclav Kotesovec_, Aug 22 2025
%e A084558 a(4) = 2 because 2! <= 4 < 3!.
%p A084558 0, seq(m$(m*m!),m=1..5); # _Robert Israel_, Apr 27 2015
%t A084558 Table[m = 1; While[m! <= n, m++]; m - 1, {n, 0, 104}] (* _Jayanta Basu_, May 24 2013 *)
%t A084558 Table[Floor[Last[Reduce[x! == n && x > 0, x]]], {n, 120}] (* _Eric W. Weisstein_, Sep 13 2024 *)
%o A084558 (Haskell)
%o A084558 a084558 n = a090529 (n + 1) - 1  -- _Reinhard Zumkeller_, Jan 05 2014
%o A084558 (PARI) a(n)={my(m=0);while(n\=m++,);m-1} \\ _R. J. Cano_, Apr 09 2018
%o A084558 (Python)
%o A084558 def A084558(n):
%o A084558   i=1
%o A084558   while n: i+=1; n//=i
%o A084558   return(i-1)
%o A084558 print(list(map(A084558,range(101)))) # _Natalia L. Skirrow_, May 28 2023
%Y A084558 A dual to A090529.
%Y A084558 Cf. A084555, A084556, A084557.
%Y A084558 Cf. A001069, A010096.
%Y A084558 Cf. A000142, A001563, A055089, A060130, A111095, A211664, A211670, A108731, A212598, A220656, A220657, A220658, A220659, A231716, A235224, A257510.
%K A084558 nonn,easy,changed
%O A084558 0,3
%A A084558 _Antti Karttunen_, Jun 23 2003
%E A084558 Name clarified by _Antti Karttunen_, Apr 27 2015