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A273339 Smallest composite c such that n^(c-1) != 1 (mod c^2), i.e., smallest composite c that is not a "Wieferich pseudoprime" to base n.

%I A273339 #28 Aug 15 2025 17:59:04
%S A273339 4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,6,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,6,4,4,
%T A273339 4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,6,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,6,4,4,4,4,
%U A273339 4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,6,4,4,4,4,4,4,4
%N A273339 Smallest composite c such that n^(c-1) != 1 (mod c^2), i.e., smallest composite c that is not a "Wieferich pseudoprime" to base n.
%C A273339 Smallest composite c such that n does not occur in row c of the array in A244752. - _Felix Fröhlich_, Jan 07 2017
%C A273339 Conjecture: periodic with period = 16. - _Harvey P. Dale_, May 12 2025
%C A273339 For any set S of composite numbers, if n is a composite == 1 (mod lcm(S)^2) then n^(c-1) == 1 (mod c^2) for all c in S, so a(n) is not in S.  Thus the sequence has infinitely many distinct members, and in particular the conjecture is false. - _Robert Israel_, Aug 15 2025
%H A273339 Felix Fröhlich, <a href="/A273339/b273339.txt">Table of n, a(n) for n = 2..10000</a>
%p A273339 f:= proc(n) local c;
%p A273339   for c from 4 do
%p A273339     if not isprime(c) and n &^(c-1) mod (c^2) <> 1 then return c fi
%p A273339   od
%p A273339 end proc:
%p A273339 map(f, [$2..100]); # _Robert Israel_, Aug 15 2025
%t A273339 A273339[n_] := NestWhile[#+1 &, 4, PrimeQ[#] || PowerMod[n, #-1, #^2] == 1 &];
%t A273339 Array[A273339, 100, 2] (* _Paolo Xausa_, Aug 15 2025 *)
%o A273339 (PARI) a(n) = forcomposite(c=1, , if(Mod(n, c^2)^(c-1)!=1, return(c)))
%Y A273339 Cf. A240719, A244752, A256517, A267288, A270776.
%K A273339 nonn
%O A273339 2,1
%A A273339 _Felix Fröhlich_, May 20 2016