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Empirical: a(n) = (4/3)*n^3 + 8*n^2 - (10/3)*n.

Conjectures from Colin Barker, Feb 20 2018: (Start)

G.f.: 2*x*(3 + 6*x - 5*x^2) / (1 - x)^4.

a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4) for n>4.

(End)

Empirical: a(n) = (5/12)*n^4 + (13/2)*n^3 + (115/12)*n^2 - (17/2)*n + 1.

Conjectures from Colin Barker, Feb 20 2018: (Start)

G.f.: x*(9 + 36*x - 44*x^2 + 8*x^3 + x^4) / (1 - x)^5.

a(n) = 5*a(n-1) - 10*a(n-2) + 10*a(n-3) - 5*a(n-4) + a(n-5) for n>5.

(End)

Empirical: a(n) = 2*a(n-1) +3*a(n-2) -2*a(n-3) -13*a(n-4) +3*a(n-5) +13*a(n-6) +9*a(n-7) -12*a(n-8) -2*a(n-9) -3*a(n-10) -a(n-11) -2*a(n-12) +8*a(n-13) +a(n-14) -2*a(n-15) -2*a(n-16) +a(n-17)

Empirical: a(n) = (7/60)*n^5 + (8/3)*n^4 + (185/12)*n^3 + (19/3)*n^2 - (218/15)*n + 3.

Conjectures from Colin Barker, Jun 19 2018: (Start)

G.f.: x*(13 + 91*x - 142*x^2 + 48*x^3 + 7*x^4 - 3*x^5) / (1 - x)^6.

a(n) = 6*a(n-1) - 15*a(n-2) + 20*a(n-3) - 15*a(n-4) + 6*a(n-5) - a(n-6) for n>6.

(End)

Empirical: a(n) = (7/360)*n^6 + (77/120)*n^5 + (635/72)*n^4 + (623/24)*n^3 - (511/180)*n^2 - (103/5)*n + 6.

Conjectures from Colin Barker, Jun 19 2018: (Start)

G.f.: 2*x*(9 + 99*x - 193*x^2 + 90*x^3 + 17*x^4 - 18*x^5 + 3*x^6) / (1 - x)^7.

a(n) = 7*a(n-1) - 21*a(n-2) + 35*a(n-3) - 35*a(n-4) + 21*a(n-5) - 7*a(n-6) + a(n-7) for n>7.

(End)

Empirical: a(n) = (1/280)*n^7 + (7/45)*n^6 + (47/15)*n^5 + (206/9)*n^4 + (4111/120)*n^3 - (1037/45)*n^2 - (4493/210)*n + 9.

Conjectures from Colin Barker, Jun 19 2018: (Start)

G.f.: x*(25 + 425*x - 901*x^2 + 419*x^3 + 249*x^4 - 269*x^5 + 79*x^6 - 9*x^7) / (1 - x)^8.

a(n) = 8*a(n-1) - 28*a(n-2) + 56*a(n-3) - 70*a(n-4) + 56*a(n-5) - 28*a(n-6) + 8*a(n-7) - a(n-8) for n>8.

(End)

Empirical: a(n) = 2*a(n-1) +5*a(n-2) -4*a(n-3) -23*a(n-4) +4*a(n-5) +40*a(n-6) +19*a(n-7) -38*a(n-8) -28*a(n-9) -a(n-11) +13*a(n-12) +38*a(n-13) +15*a(n-14) -31*a(n-15) -24*a(n-16) -2*a(n-17) +9*a(n-18) +6*a(n-19) +6*a(n-20) -2*a(n-21) -3*a(n-22) -a(n-23) +a(n-24)

Empirical: a(n) = a(n-1) +9*a(n-2) +2*a(n-3) -45*a(n-4) -38*a(n-5) +103*a(n-6) +166*a(n-7) -90*a(n-8) -319*a(n-9) -86*a(n-10) +254*a(n-11) +207*a(n-12) +52*a(n-13) +50*a(n-14) -151*a(n-15) -425*a(n-16) -170*a(n-17) +375*a(n-18) +403*a(n-19) -9*a(n-20) -227*a(n-21) -147*a(n-22) -27*a(n-23) +50*a(n-24) +79*a(n-25) +29*a(n-26) -28*a(n-27) -26*a(n-28) +2*a(n-29) +7*a(n-30) +a(n-31) -a(n-32)

Empirical: a(n) = a(n-1) +11*a(n-2) +2*a(n-3) -65*a(n-4) -54*a(n-5) +189*a(n-6) +289*a(n-7) -247*a(n-8) -717*a(n-9) -70*a(n-10) +833*a(n-11) +558*a(n-12) -116*a(n-13) -140*a(n-14) -566*a(n-15) -1355*a(n-16) -342*a(n-17) +1914*a(n-18) +1998*a(n-19) -313*a(n-20) -1832*a(n-21) -1300*a(n-22) -34*a(n-23) +883*a(n-24) +1032*a(n-25) +316*a(n-26) -492*a(n-27) -565*a(n-28) -131*a(n-29) +159*a(n-30) +164*a(n-31) +64*a(n-32) -24*a(n-33) -47*a(n-34) -17*a(n-35) +9*a(n-36) +7*a(n-37) -a(n-39)

Empirical: a(n) = 14*a(n-2) +16*a(n-3) -88*a(n-4) -175*a(n-5) +241*a(n-6) +873*a(n-7) -23*a(n-8) -2339*a(n-9) -1756*a(n-10) +3133*a(n-11) +4977*a(n-12) -651*a(n-13) -5183*a(n-14) -2799*a(n-15) -1396*a(n-16) -2060*a(n-17) +6290*a(n-18) +16137*a(n-19) +4270*a(n-20) -20843*a(n-21) -22622*a(n-22) +3496*a(n-23) +22840*a(n-24) +16236*a(n-25) -1848*a(n-26) -13694*a(n-27) -13472*a(n-28) -2741*a(n-29) +8808*a(n-30) +9784*a(n-31) +1585*a(n-32) -4681*a(n-33) -4085*a(n-34) -657*a(n-35) +1374*a(n-36) +1369*a(n-37) +376*a(n-38) -403*a(n-39) -405*a(n-40) -40*a(n-41) +117*a(n-42) +49*a(n-43) -13*a(n-44) -11*a(n-45) +a(n-47)