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Empirical: a(n) = 4*a(n-1) for n>3.

Conjectures from Colin Barker, Feb 23 2018: (Start)

G.f.: 2*x*(1 + 3*x - x^2) / (1 - 4*x).

a(n) = 27*2^(2*n - 5) for n>2.

(End)

Empirical: a(n) = 3*a(n-1) +8*a(n-2) -18*a(n-3) -17*a(n-5) -116*a(n-6) +256*a(n-7) +184*a(n-8) -335*a(n-9) +260*a(n-10) -644*a(n-11) -368*a(n-12) +2013*a(n-13) -564*a(n-14) -1664*a(n-15) -1063*a(n-16) +1284*a(n-17) +3156*a(n-18) -1962*a(n-19) -256*a(n-20) +1020*a(n-21) -1448*a(n-22) -96*a(n-23) +144*a(n-24) +352*a(n-25) -128*a(n-26) for n>28

Empirical: a(n) = 7*a(n-1) -6*a(n-2) -11*a(n-3) -36*a(n-4) -39*a(n-5) +276*a(n-6) +153*a(n-7) -71*a(n-8) -518*a(n-9) -1682*a(n-10) +1463*a(n-11) +2788*a(n-12) -2181*a(n-13) -273*a(n-14) +1238*a(n-15) -2067*a(n-16) +301*a(n-17) +1071*a(n-18) -635*a(n-19) +133*a(n-20) +286*a(n-21) -194*a(n-22) -38*a(n-23) +80*a(n-24) -46*a(n-25) -14*a(n-26) +20*a(n-27) -4*a(n-28) for n>34

Empirical: a(n) = 8*a(n-1) +17*a(n-2) -201*a(n-3) +448*a(n-4) -1627*a(n-5) +1693*a(n-6) +22432*a(n-7) -60066*a(n-8) +45696*a(n-9) +32264*a(n-10) -697137*a(n-11) +1671442*a(n-12) -378862*a(n-13) -2203329*a(n-14) +8634970*a(n-15) -17270425*a(n-16) +2222078*a(n-17) +16804877*a(n-18) -40251356*a(n-19) +104103432*a(n-20) -64341121*a(n-21) -37339570*a(n-22) +110797160*a(n-23) -350390806*a(n-24) +352758000*a(n-25) -4026468*a(n-26) -221511112*a(n-27) +581590756*a(n-28) -647331256*a(n-29) +39507416*a(n-30) +335397720*a(n-31) -417266928*a(n-32) +342507344*a(n-33) +68614176*a(n-34) -240816608*a(n-35) +52389024*a(n-36) +43953792*a(n-37) -21497088*a(n-38) +4329216*a(n-39) +746496*a(n-40) -746496*a(n-41) for n>45