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Empirical for column k:

k=1: a(n) = a(n-1) +a(n-2) +a(n-3)

k=2: a(n) = 3*a(n-1) +3*a(n-2) +3*a(n-3)

k=3: a(n) = 6*a(n-1) +11*a(n-2) +26*a(n-3) -5*a(n-4) -5*a(n-6)

k=4: a(n) = 12*a(n-1) +45*a(n-2) +180*a(n-3) -27*a(n-4) -81*a(n-6)

Columns k=1..z+1 for an underlying 0..z array: a(n) = sum(i=1..2z+1){(2^k-1)*a(n-i)} checked for z=1..3.

Empirical: a(n) = 3*a(n-1) +a(n-2) +7*a(n-3) +6*a(n-4)

Empirical: a(n) = 5*a(n-1) + 11*a(n-2) + 51*a(n-3) + 7*a(n-4) + 27*a(n-5) - 33*a(n-6) - 3*a(n-7).

Empirical g.f.: x*(5 + 22*x + 47*x^2 + 12*x^3 + 15*x^4 - 54*x^5 - 3*x^6) / (1 - 5*x - 11*x^2 - 51*x^3 - 7*x^4 - 27*x^5 + 33*x^6 + 3*x^7). - Colin Barker, Jul 25 2018

Empirical: a(n) = 11*a(n-1) +33*a(n-2) +233*a(n-3) +13*a(n-4) -31*a(n-5) -657*a(n-6) -321*a(n-7) -288*a(n-8) -64*a(n-9) +64*a(n-10)

Empirical: a(n) = 20*a(n-1) +158*a(n-2) +2330*a(n-3) +5837*a(n-4) +17850*a(n-5) -57426*a(n-6) -279582*a(n-7) -163347*a(n-8) +746554*a(n-9) +983888*a(n-10) -474072*a(n-11) -1651489*a(n-12) -646204*a(n-13) +913420*a(n-14) +1038852*a(n-15) +300209*a(n-16) -257176*a(n-17) -347922*a(n-18) -148694*a(n-19) +11843*a(n-20) -2590*a(n-21) +19366*a(n-22) -18694*a(n-23) +8067*a(n-24) -1302*a(n-25) -60*a(n-26) +180*a(n-27) -15*a(n-28)

Empirical: a(n) = 6*a(n-1) + 5*a(n-2) + 46*a(n-3) + 61*a(n-4) - 10*a(n-5) - a(n-6) - 10*a(n-7).

Empirical g.f.: x*(1 + 35*x + 86*x^2 + 48*x^3 - 21*x^4 - 11*x^5 - 10*x^6) / (1 - 6*x - 5*x^2 - 46*x^3 - 61*x^4 + 10*x^5 + x^6 + 10*x^7). - Colin Barker, Jul 25 2018

Empirical: a(n) = 10*a(n-1) +44*a(n-2) +384*a(n-3) +1502*a(n-4) +1612*a(n-5) -478*a(n-6) -4742*a(n-7) -13053*a(n-8) -13178*a(n-9) -7218*a(n-10) -8982*a(n-11) -108*a(n-12) +3888*a(n-13)

Empirical: a(n) = 20*a(n-1) +146*a(n-2) +3532*a(n-3) +27431*a(n-4) +116656*a(n-5) +474493*a(n-6) -504690*a(n-7) -9727761*a(n-8) -24028992*a(n-9) -66423882*a(n-10) -41186382*a(n-11) +707203710*a(n-12) +1057707036*a(n-13) +400102378*a(n-14) +2214831924*a(n-15) -8080578503*a(n-16) -15125172488*a(n-17) +2822970974*a(n-18) -20788048752*a(n-19) +25829191223*a(n-20) +56646466196*a(n-21) -24732078735*a(n-22) +59826555806*a(n-23) -56845699775*a(n-24) -45194311324*a(n-25) +8339540130*a(n-26) -13101220366*a(n-27) +23960611452*a(n-28) +18278792048*a(n-29) -10927311264*a(n-30) -3516015456*a(n-31) +2062115264*a(n-32) -872547840*a(n-33) -203788800*a(n-34) +235008000*a(n-35)