A300001 Side length of the smallest equilateral triangle that can be dissected into n equilateral triangles with integer sides, or 0 if no such triangle exists.

1, 0, 0, 2, 0, 3, 4, 4, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 5, 6, 6, 5, 7, 6, 5, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 6, 7, 7, 6, 7, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 8, 8, 7, 8, 8, 7, 8, 9, 8, 8, 9, 8, 8, 9, 8, 9, 9, 8, 9, 9, 8, 9, 9, 9, 10, 9, 9, 10, 9, 9, 10, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 10, 10, 11, 10, 10, 11, 10, 11, 11, 10, 11, 11, 10

Offset: 1

Author

Hugo Pfoertner, Feb 20 2018

Keywords

• nonn

Comments

No solutions exist for n = 2, 3 and 5.

a(n) = A290820(n) for n <= 8. It is conjectured that a(n) < A290820(n) for all n > 12.

The seven numbers mentioned by Peter Munn in the Formula section [1, 2, 4, 5, 7, 10, 13] coincide with the seven terms of A123120. - M. F. Hasler and Omar E. Pol, Feb 23 2018

Examples

			            a(9)=3               a(10)=4                a(11)=5
              *                     *                      *
             / \                   / \                    / \
            *---*                 *---*                  +   +
           / \ / \               / \ / \                /     \
          *---*---*             *---*---*              +       +
         / \ / \ / \           / \ / \ / \            /         \
        *---*---*---*         +   *---*   +          *---+---+---*
                             /     \ /     \        / \ / \     / \
                            *---+---*---+---*      *---*---*   +   +
                                                  / \ / \ / \ /     \
                                                 *---*---*---*---+---*
.
           a(12)=6                a(13)=4                a(14)=5
              *                      *                      *
             / \                    / \                    / \
            *---*                  *---*                  +   +
           / \ / \                / \ / \                /     \
          *---*---*              *---*---*              +       +
         / \ / \ / \            / \ / \ / \            /         \
        *---*---*---*          *---*   *---*          *---+---+---*
       / \         / \        / \ /     \ / \        / \ / \ / \ / \
      *   +       +   +      *---*---*---*---*      *---*---*---*   +
     /     \     /     \                           / \ / \ / \ /     \
    +       +   +       +                         *---*---*---*---+---*
   /         \ /         \
  *---+---+---*---+---+---*
.
           a(15)=6                 a(16)=4                a(17)=5
              *                       *                      *
             / \                     / \                    / \
            +   +                   *---*                  +   +
           /     \                 / \ / \                /     \
          +       +               *---*---*              +       +
         /         \             / \ / \ / \            /         \
        +           +           *---*---*---*          *---*---*---*
       /             \         / \ / \ / \ / \        / \ / \ / \ / \
      *---*---*---*---*       *---*---*---*---*      *---*---*---*---*
     / \     / \     / \                            / \ / \ / \ / \ / \
    *---*   *---*   *---*                          *---*---*---*---*---*
   / \ / \ / \ / \ / \ / \
  *---*---*---*---*---*---*
.
           a(18)=6                 a(19)=5                 a(20)=6
              *                       *                       *
             / \                     / \                     / \
            +   +                   +   +                   *---*
           /     \                 /     \                 / \ / \
          +       +               *---*---*               *---*---*
         /         \             / \     / \             / \ / \ / \
        +           +           *---*   *---*           *---*---*---*
       /             \         / \ / \ / \ / \         / \ / \ / \ / \
      *---*---*---*---*       *---*---*---*---*       +   *---*---*   +
     / \ / \ / \ / \ / \     / \ / \ / \ / \ / \     /     \ / \ /     \
    *---*---*   *---*---*   *---*---*---*---*---*   +       *---*       +
   / \ / \ /     \ / \ / \                         /         \ /         \
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Links

• Ales Drapal, Carlo Hamalainen, An enumeration of equilateral triangle dissections, arXiv:0910.5199 [math.CO], 2009-2010.

Crossrefs

Cf. A068527, A123120, A290820, A299705.

Formula

a(n^2) = n for all n>=1, a(n^2-3) = n for all n>=3. - Corrected by Peter Munn, Feb 24 2018

For n > 23, if A068527(n) = 1, 2, 4, 5, 7, 10 or 13 then a(n) = ceiling(sqrt(n)) + 1 else a(n) = ceiling(sqrt(n)). - Peter Munn, Feb 23 2018

Extensions

a(21)-a(100) from Peter Munn, Feb 24 2018