A385023 Number of cuboids (rectangular prisms) that can be formed from the points of Z^3 (a cubical grid of n X n X n points).

0, 1, 36, 372, 2032, 8107, 24986, 66688, 155896, 332657, 653708, 1216076, 2135220, 3604679, 5845214, 9160864, 13947880, 20778029, 30205036, 43114824, 60340252, 83145027, 112870514, 151270988, 199965096, 261491409

Offset: 1

Author

Keith F. Lynch, Jun 15 2025

Keywords

• nonn
• more

Comments

Skew cuboids are allowed. The number of orthogonal cuboids is simply binomial(n, 2)^3.

The first 15 terms were independently computed by Keith Lynch and Michael Beeler. Terms 16 through 26 are from Michael Beeler.

Examples

			The only solution for n=2 is:
  0,0,0; 0,0,1; 0,1,0; 0,1,1; 1,0,0; 1,0,1; 1,1,0; 1,1,1
The 36 solutions for n=3 are:
  0,0,0; 0,0,1; 0,1,0; 0,1,1; 2,0,0; 2,0,1; 2,1,0; 2,1,1
  0,0,0; 0,0,1; 0,2,0; 0,2,1; 1,0,0; 1,0,1; 1,2,0; 1,2,1
  0,0,0; 0,0,1; 0,2,0; 0,2,1; 2,0,0; 2,0,1; 2,2,0; 2,2,1
  0,0,0; 0,0,2; 0,1,0; 0,1,2; 1,0,0; 1,0,2; 1,1,0; 1,1,2
  0,0,0; 0,0,2; 0,1,0; 0,1,2; 2,0,0; 2,0,2; 2,1,0; 2,1,2
  0,0,0; 0,0,2; 0,2,0; 0,2,2; 1,0,0; 1,0,2; 1,2,0; 1,2,2
  0,0,1; 0,0,2; 0,1,1; 0,1,2; 2,0,1; 2,0,2; 2,1,1; 2,1,2
  0,0,1; 0,0,2; 0,2,1; 0,2,2; 1,0,1; 1,0,2; 1,2,1; 1,2,2
  0,0,1; 0,0,2; 0,2,1; 0,2,2; 2,0,1; 2,0,2; 2,2,1; 2,2,2
  0,0,1; 0,1,0; 0,1,2; 0,2,1; 1,0,1; 1,1,0; 1,1,2; 1,2,1
  0,0,1; 0,1,0; 0,1,2; 0,2,1; 2,0,1; 2,1,0; 2,1,2; 2,2,1
  0,0,1; 0,1,1; 1,0,0; 1,0,2; 1,1,0; 1,1,2; 2,0,1; 2,1,1
  0,0,1; 0,2,1; 1,0,0; 1,0,2; 1,2,0; 1,2,2; 2,0,1; 2,2,1
  0,1,0; 0,1,1; 0,2,0; 0,2,1; 2,1,0; 2,1,1; 2,2,0; 2,2,1
  0,1,0; 0,1,1; 1,0,0; 1,0,1; 1,2,0; 1,2,1; 2,1,0; 2,1,1
  0,1,0; 0,1,2; 0,2,0; 0,2,2; 1,1,0; 1,1,2; 1,2,0; 1,2,2
  0,1,0; 0,1,2; 0,2,0; 0,2,2; 2,1,0; 2,1,2; 2,2,0; 2,2,2
  0,1,0; 0,1,2; 1,0,0; 1,0,2; 1,2,0; 1,2,2; 2,1,0; 2,1,2
  0,1,1; 0,1,2; 0,2,1; 0,2,2; 2,1,1; 2,1,2; 2,2,1; 2,2,2
  0,1,1; 0,1,2; 1,0,1; 1,0,2; 1,2,1; 1,2,2; 2,1,1; 2,1,2
  0,1,1; 0,2,1; 1,1,0; 1,1,2; 1,2,0; 1,2,2; 2,1,1; 2,2,1
  1,0,0; 1,0,1; 1,2,0; 1,2,1; 2,0,0; 2,0,1; 2,2,0; 2,2,1
  0,1,1; 0,2,1; 1,1,0; 1,1,2; 1,2,0; 1,2,2; 2,1,1; 2,2,1
  1,0,0; 1,0,1; 1,2,0; 1,2,1; 2,0,0; 2,0,1; 2,2,0; 2,2,1
  1,0,0; 1,0,2; 1,1,0; 1,1,2; 2,0,0; 2,0,2; 2,1,0; 2,1,2
  1,0,0; 1,0,2; 1,2,0; 1,2,2; 2,0,0; 2,0,2; 2,2,0; 2,2,2
  1,0,1; 1,0,2; 1,2,1; 1,2,2; 2,0,1; 2,0,2; 2,2,1; 2,2,2
  1,0,1; 1,1,0; 1,1,2; 1,2,1; 2,0,1; 2,1,0; 2,1,2; 2,2,1
  1,1,0; 1,1,2; 1,2,0; 1,2,2; 2,1,0; 2,1,2; 2,2,0; 2,2,2
  0,0,0; 0,0,1; 0,1,0; 0,1,1; 1,0,0; 1,0,1; 1,1,0; 1,1,1
  0,0,1; 0,0,2; 0,1,1; 0,1,2; 1,0,1; 1,0,2; 1,1,1; 1,1,2
  0,1,0; 0,1,1; 0,2,0; 0,2,1; 1,1,0; 1,1,1; 1,2,0; 1,2,1
  0,1,1; 0,1,2; 0,2,1; 0,2,2; 1,1,1; 1,1,2; 1,2,1; 1,2,2
  1,0,0; 1,0,1; 1,1,0; 1,1,1; 2,0,0; 2,0,1; 2,1,0; 2,1,1
  1,0,1; 1,0,2; 1,1,1; 1,1,2; 2,0,1; 2,0,2; 2,1,1; 2,1,2
  1,1,0; 1,1,1; 1,2,0; 1,2,1; 2,1,0; 2,1,1; 2,2,0; 2,2,1
  1,1,1; 1,1,2; 1,2,1; 1,2,2; 2,1,1; 2,1,2; 2,2,1; 2,2,2
		

Crossrefs

Cf. A098928.