A109301 a(n) = rhig(n) = rote height in gammas of n, where the "rote" corresponding to a positive integer n is a graph derived from the primes factorization of n, as illustrated in the comments.

0, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 2, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 3, 4, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 3, 5, 3, 3, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 4, 3, 4, 3, 3, 4, 4, 3, 5, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 5, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 3

Offset: 1

Author

Jon Awbrey, Jun 24 2005 - Jul 08 2005

Keywords

• nonn

Comments

Table of Rotes and Primal Functions for Positive Integers from 1 to 40

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` `

O ` ` ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

{ } ` ` ` ` ` 1:1 ` ` ` ` ` 2:1 ` ` ` ` ` 1:2 ` ` ` ` ` 3:1 ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

1 ` ` ` ` ` ` 2 ` ` ` ` ` ` 3 ` ` ` ` ` ` 4 ` ` ` ` ` ` 5 ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` `

` ` o-o ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` o-o o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` `

` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` `

o-o o-o ` ` ` o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` o---o ` ` ` ` o-o o-o ` ` ` `

| ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` `

O===O ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O===O ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

1:1 2:1 ` ` ` 4:1 ` ` ` ` ` 1:3 ` ` ` ` ` 2:2 ` ` ` ` ` 1:1 3:1 ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

6 ` ` ` ` ` ` 7 ` ` ` ` ` ` 8 ` ` ` ` ` ` 9 ` ` ` ` ` ` 10` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` o-o ` ` ` `

| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | ` ` ` ` `

o-o ` ` ` ` ` ` o-o o-o ` ` o-o o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` o-o o-o ` ` ` `

| ` ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` | ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` `

o-o ` ` ` ` ` o-o ` o-o ` ` o===o-o ` ` ` o-o o-o ` ` ` o-o o-o ` ` ` `

| ` ` ` ` ` ` | ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` `

O ` ` ` ` ` ` O=====O ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O===O ` ` ` ` O===O ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

5:1 ` ` ` ` ` 1:2 2:1 ` ` ` 6:1 ` ` ` ` ` 1:1 4:1 ` ` ` 2:1 3:1 ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

11` ` ` ` ` ` 12` ` ` ` ` ` 13` ` ` ` ` ` 14` ` ` ` ` ` 15` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` o-o ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` `

` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` `

` o-o ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` o-o o-o ` o-o ` ` ` ` ` ` o-o o-o ` ` `

` | ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` | ` ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` `

o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` o-o o---o ` ` o-o ` ` ` ` ` o-o ` o-o ` ` `

| ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` | ` ` ` `

O ` ` ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O===O ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O=====O ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

1:4 ` ` ` ` ` 7:1 ` ` ` ` ` 1:1 2:2 ` ` ` 8:1 ` ` ` ` ` 1:2 3:1 ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

16` ` ` ` ` ` 17` ` ` ` ` ` 18` ` ` ` ` ` 19` ` ` ` ` ` 20` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` o-o ` ` ` ` o-o ` ` ` o-o o-o ` ` ` ` o-o ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` `

` ` ` | ` ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` `

o-o o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` o---o ` ` ` ` ` o-o o-o ` ` o-o o-o ` ` ` `

| ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` | ` | ` ` ` ` `

o-o o-o ` ` ` o-o o-o ` ` ` o-o ` ` ` ` ` o-o ` o-o ` ` o---o ` ` ` ` `

| ` | ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` `

O===O ` ` ` ` O===O ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O=====O ` ` ` O ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

2:1 4:1 ` ` ` 1:1 5:1 ` ` ` 9:1 ` ` ` ` ` 1:3 2:1 ` ` ` 3:2 ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

21` ` ` ` ` ` 22` ` ` ` ` ` 23` ` ` ` ` ` 24` ` ` ` ` ` 25` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` o-o ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` o-o ` `

` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` `

` ` o-o o-o ` o-o o-o ` ` ` ` o-o o-o ` ` o-o o-o ` ` ` ` ` o-o o-o ` `

` ` | ` | ` ` | ` | ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` | ` | ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` `

o-o o===o-o ` o---o ` ` ` ` o-o ` o-o ` ` o===o-o ` ` ` o-o o-o o-o ` `

| ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` | ` | ` ` `

O===O ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O=====O ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O===O===O ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

1:1 6:1 ` ` ` 2:3 ` ` ` ` ` 1:2 4:1 ` ` ` 10:1` ` ` ` ` 1:1 2:1 3:1 ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

26` ` ` ` ` ` 27` ` ` ` ` ` 28` ` ` ` ` ` 29` ` ` ` ` ` 30` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

o-o ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

o-o ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` o-o ` o-o ` ` `

| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` | ` ` ` `

o-o ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` o-o o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` o-o o-o ` ` ` `

| ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` `

o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` o-o o-o ` ` ` o-o o-o ` ` ` o-o o-o ` ` ` `

| ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` `

O ` ` ` ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O===O ` ` ` ` O===O ` ` ` ` O===O ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

11:1` ` ` ` ` 1:5 ` ` ` ` ` 2:1 5:1 ` ` ` 1:1 7:1 ` ` ` 3:1 4:1 ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

31` ` ` ` ` ` 32` ` ` ` ` ` 33` ` ` ` ` ` 34` ` ` ` ` ` 35` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` o-o o-o ` ` ` ` ` o-o ` ` ` ` ` ` o-o ` ` o-o o-o ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` | ` | ` ` ` `

` o-o o-o o-o o-o ` o-o ` ` ` ` o-o ` ` ` o-o o-o o-o ` ` o-o o-o ` ` `

` | ` | ` | ` | ` ` | ` ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` | ` | ` ` ` | ` | ` ` ` `

o-o ` o---o ` o=====o-o ` ` o-o o-o ` ` ` o-o o===o-o ` o-o ` o-o ` ` `

| ` ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` | ` | ` ` ` ` | ` ` | ` ` ` `

O=====O ` ` ` O ` ` ` ` ` ` O===O ` ` ` ` O===O ` ` ` ` O=====O ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

1:2 2:2 ` ` ` 12:1` ` ` ` ` 1:1 8:1 ` ` ` 2:1 6:1 ` ` ` 1:3 3:1 ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

36` ` ` ` ` ` 37` ` ` ` ` ` 38` ` ` ` ` ` 39` ` ` ` ` ` 40` ` ` ` ` ` `

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

In these Figures, "extended lines of identity" like o===o indicate identified nodes and capital O is the root node. The rote height in gammas is found by finding the number of graphs of the following shape between the root and one of the highest nodes of the tree:

o--o

|

o

A sequence like this, which can be regarded as a nonnegative integer measure on positive integers, may have as many as 3 other sequences associated with it. Given that the fiber of a function f at n is all the domain elements that map to n, we always have the fiber minimum or minimum inverse function and may also have the fiber cardinality and the fiber maximum or maximum inverse function. For A109301, the minimum inverse is A007097(n) = min {k : A109301(k) = n}, giving the first positive integer whose rote height is n; the fiber cardinality is A109300, giving the number of positive integers of rote height n; the maximum inverse, g(n) = max {k : A109301(k) = n}, giving the last positive integer whose rote height is n, has the following initial terms: g(0) = { } = 1, g(1) = 1:1 = 2, g(2) = 1:2 2:2 = 36, while g(3) = 1:36 2:36 3:36 4:36 6:36 9:36 12:36 18:36 36:36 = (2 3 5 7 13 23 37 61 151)^36 = 21399271530^36 = roughly 7.840858554516122655953405327738 x 10^371.

Examples

			Writing (prime(i))^j as i:j, we have:
802701 = 2:2 8638:1
8638 = 1:1 4:1 113:1
113 = 30:1
30 = 1:1 2:1 3:1
4 = 1:2
3 = 2:1
2 = 1:1
1 = { }
So rote(802701) is the graph:
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | `
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o-o o-o
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` | `
` ` ` ` ` ` ` o-o o-o o-o o-o
` ` ` ` ` ` ` | ` | ` | ` | `
` ` ` ` ` ` o-o ` o===o===o-o
` ` ` ` ` ` | ` ` | ` ` ` ` `
o-o o-o o-o o-o ` o---------o
| ` | ` | ` | ` ` | ` ` ` ` `
o---o ` o===o=====o---------o
| ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
O=======O ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
Therefore rhig(802701) = 6.
		

Links

• J. Awbrey, Riffs and Rotes

Crossrefs

Cf. A007097, A050924, A061396, A062504, A062537, A062860.

Cf. A106177, A108352, A108371, A109300, A111791 to A111800.

Formula

Writing (prime(i))^j as i:j, the prime factorization of a positive integer n can be written as n = prod_(k = 1 to m) i(k):j(k). This sets up the formula: rhig(n) = 1 + max_(k = 1 to m) {rhig(i(k)), rhig(j(k))}, where rhig(1) = 0.