A239001 Irregular triangular array read by rows: row n gives a list of the partitions of n into Fibonacci numbers.

1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 2, 5, 1, 1, 3, 3, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 1

Offset: 1

Author

Clark Kimberling, Mar 08 2014

Keywords

• nonn
• tabf
• easy

Comments

The number of partitions represented in row n is A003107(n).

The parts of a partition are nonincreasing and the order of the partitions is anti-lexicographic. As parts one uses A000045(n), n >= 2. - Wolfdieter Lang, Mar 17 2014

Examples

			1
2 1 1
3 2 1 1 1 1
3 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1
5 3 2 3 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
Row 5 represents these six partitions: 5, 32, 311, 221, 2111, 11111.
From _Wolfdieter Lang_, Mar 17 2014: (Start)
The array with separated partitions begins:
n\k   1      2      3        4        5          6          7            8             9             10 ...
1:    1
2:    2    1,1
3:    3    2,1  1,1,1
4:  3,1    2,2  2,1,1  1,1,1,1
5:    5    3,2  3,1,1    2,2,1  2,1,1,1  1,1,1,1,1
6:  5,1    3,3  3,2,1  3,1,1,1    2,2,2    2,2,1,1  2,1,1,1,1  1,1,1,1,1,1
7:  5,2  5,1,1  3,3,1    3,2,2  3,2,1,1  3,1,1,1,1    2,2,2,1    2,2,1,1,1   2,1,1,1,1,1  1,1,1,1,1,1,1
...
Row n=8: 8  5,3  5,2,1  5,1,1,1  3,3,2  3,3,1,1  3,2,2,1  3,2,1,1,1  3,1,1,1,1,1   2,2,2,2   2,2,2,1,1
  2,2,1,1,1,1  2,1,1,1,1,1,1  1,1,1,1,1,1,1,1;
Row n=9  8,1  5,3,1  5,2,2   5,2,1,1   5,1,1,1,1  3,3,3   3,3,2,1   3,3,1,1,1  3,2,2,2  3,2,2,1,1
3,2,1,1,1,1   3,1,1,1,1,1,1  2,2,2,2,1  2,2,2,1,1,1  2,2,1,1,1,1,1   2,1,1,1,1,1,1,1   1,1,1,1,1,1,1,1,1;
Row n=10: 8,2  8,1,1   5,5   5,3,2  5,3,1,1  5,2,2,1  5,2,1,1,1  5,1,1,1,1,1   3,3,3,1  3,3,2,2  3,3,2,1,1
  3,3,1,1,1,1   3,2,2,2,1  3,2,2,1,1,1   3,2,1,1,1,1,1   3,1,1,1,1,1,1,1   2,2,2,2,2   2,2,2,2,1,1
  2,2,2,1,1,1,1  2,2,1,1,1,1,1,1  2,1,1,1,1,1,1,1,1  1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
(End)
		

Crossrefs

Cf. A003107, A000045, A239512.

Programs

Mathematica

f = Table[Fibonacci[n], {n, 2, 60}]; p[n_, k_] := p[n, k] = IntegerPartitions[n][[k]]; s[n_, k_] := If[Union[f, DeleteDuplicates[p[n, k]]] == f, p[n, k], 0]; t[n_] := Table[s[n, k], {k, 1, PartitionsP[n]}]; TableForm[Table[DeleteCases[t[n], 0], {n, 1, 12}]] (* shows partitions *)
y = Flatten[Table[DeleteCases[t[n], 0], {n, 1, 12}]] (* A239001 *)
(* also *)
FibonacciQ[n_] := IntegerQ[Sqrt[5 n^2 + 4]] || IntegerQ[Sqrt[5 n^2 - 4]]; Attributes[FibonacciQ] = {Listable}; TableForm[t = Map[Select[IntegerPartitions[#], And @@ FibonacciQ[#] &] &, Range[0, 12]]]
Flatten[t] (* Peter J. C. Moses, Mar 24 2014 *)