A145201 Triangle read by rows: T(n,k) = S(n,k) mod n, where S(n,k) = Stirling numbers of the first kind.

0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 3, 1, 3, 1, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 4, 1, 0, 2, 4, 1, 0, 0, 8, 0, 3, 0, 6, 0, 1, 0, 6, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 5, 1, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 4, 6, 11, 6, 3, 6, 5, 6, 1, 12, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 7, 5, 7, 7, 7, 7, 7

Offset: 1

Author

Tilman Neumann, Oct 04 2008, Oct 06 2008

Keywords

• nonn
• tabl

Comments

The triangle T(n,k) contains many zeros. The distribution of nonzero entries is quite chaotic, but shows regular patterns, too, e.g.:

1) T(n,1) > 0 for n prime or n=4; T(n,1)=0 else

2) T(5k,k) > 0 for all k

More generally, it seems that:

3) T(pk,k) > 0 for k>0 and primes p

The following table depicts the zero (-) and nonzero (x) entries for the first 80 rows of the triangle:

-

xx

x-x

xxxx

x---x

-xxxxx

x-----x

-xxx-xxx

--x-x-x-x

-x--xx--xx

x---------x

---xxxxxxxxx

x-----------x

-x----xxxxxxxx

--x-x-x-x-x-x-x

-----xxx-x-x-xxx

x---------------x

-----x-xxx-x-x-xxx

x-----------------x

---x---xxxxx-x-xxxxx

--x---x-x---x-x---x-x

-x--------xxxx----xxxx

x---------------------x

-------x-xxx-xxx-xxx-xxx

----x---x---x---x---x---x

-x----------xx--xx--xx--xx

--------x-x-x-x-x-x-x-x-x-x

---x-----x--xxxxxxxxxxxxxxxx

x---------------------------x

-----x---x-x--xxxxxxxxxxxxxxxx

x-----------------------------x

-------------xxx-x-x-x-x-x-x-xxx

--x-------x-x-x-------x-----x-x-x

-x--------------xx--------------xx

----x-x---x---x-x-----x---x-x-x---x

-----------x-x-xxxxx---x-x-x-x-xxxxx

x-----------------------------------x

-x----------------xxxx------------xxxx

--x---------x-x---x-x-----x---x-x---x-x

-------x---x---x-xxx-xxx---x-x-x-xxx-xxx

x---------------------------------------x

-----x-----x-x-x-x-xxx-xxx---x-x-x-xxx-xxx

x-----------------------------------------x

---x---------x------xxxxxxxx-x-x-x-xxxxxxxxx

--------x---x-x-x-x-x-x-x-x-x---x-x-x-x-x-x-x

-x--------------------xxxxxxxx--------xxxxxxxx

x---------------------------------------------x

---------------x-x---xxx-x-x-xxx-x-x--xx-x-x-xxx

------x-----x-----x-----x-----x-----x-----x-----x

---------x---x---x---x--xx---x--xx---x--xx---x--xx

--x-------------x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x

---x-----------x--------xxxx-x-xxxxx---xxxxx-x-xxxxx

x---------------------------------------------------x

-----------------x-x-x-x-xxxxx-x-xxxxx-x-xxxxx-x-xxxxx

----x-----x---x---------x-----x---x---------x-----x---x

-------x-----x-----------xxx-xxx--xx-xxx-xxx-xxx-xxx-xxx

--x---------------x-x---------------x-x---------------x-x

-x--------------------------xx--xx--xx--xx--xx--xx--xx--xx

x---------------------------------------------------------x

-----------x---x---x-x-x----xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x-----------------------------------------------------------x

-x----------------------------xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

--------x-----x-----x-x-x-x-----x-----x-x-x-x-----x-----x-x-x-x

-----------------------------xxx-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-xxx

----x-------x---x---x---x---x---x---x---x---x-------x---x---x---x

-----x---------x-----x-x-x-x-x--xx-x---x-x---x-x-------x-x-x---xxx

x-----------------------------------------------------------------x

---x---------------x------------xxxx-------------x-x------------xxxx

--x-------------------x-x-x-x-x-x-------x-x-x-x-x-x-------x-x-x-x-x-x

---------x---x-x-x---x---x-x-x---xxxxx---x---x---x-x-x---x---x-x-xxxxx

x---------------------------------------------------------------------x

-----------------------x-x-x-x-x-xxx-xxx-x-x-x-x-x-x-x-x---x-x-x-xxx-xxx

x-----------------------------------------------------------------------x

-x----------------------------------xx--xx--------------------------xx--xx

--------------x---x---x-x-x---x-x-x-x-x---x-x-x-x-x---x-x-x-x-x---x-x-x-x-x

---x-----------------x--------------xxxxxxxx---------x-x-x-x--------xxxxxxxx

------x---x-----x-----x---x-x-----x-x---------x-----x---x-x-----x-x---x-----x

-----x-----------x-------x-x-x-x-x-x-xxxxxxxxx-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-xxxxxxxxx

x-----------------------------------------------------------------------------x

---------------x---x---------------x-xxx-x-x-xxx---x---x-x-x-x-x---x-xxx-x-x-xxx

SUM(A057427(a(k)): 1<=k<=n) = A005127(n). - Reinhard Zumkeller, Jul 04 2009

Examples

			Triangle starts:
0;
1, 1;
2, 0, 1;
2, 3, 2, 1;
4, 0, 0, 0, 1;
0, 4, 3, 1, 3, 1;
6, 0, 0, 0, 0, 0, 1;
....
		

Crossrefs

Cf. A000040, A008275, A061006 (first column).

Programs

PARI

tabl(nn) = {for (n=1, nn, for (k=1, n, print1(stirling(n, k, 1) % n, ", ");); print(););} \\ Michel Marcus, Aug 10 2015

Formula

T(n,k) = S(n,k) mod n, where S(n,k) = Stirling numbers of the first kind.