cp's OEIS Frontend

a(n) = A122510(n,n^2).

a(n) = (3+2*n+16*n^2-8*n^3+2*n^4)/3. - corrected by Colin Barker, Jul 07 2013

G.f.: -(x+1)*(9*x^3-x^2-x+1) / (x-1)^5. - Colin Barker, Jul 07 2013

a(0)=1, a(1)=5, a(2)=13, a(3)=33, a(4)=89, a(n)=5*a(n-1)-10*a(n-2)+ 10*a(n-3)- 5*a(n-4)+a(n-5). - Harvey P. Dale, Feb 09 2015

Appears to satisfy a 9-degree polynomial. - Ralf Stephan, Mar 07 2004

Empirical g.f.: (x+1)*(93*x^8+620*x^7-848*x^6+516*x^5-150*x^4+20*x^3+8*x^2-4*x+1) / (x-1)^10. - Colin Barker, Jul 07 2013

Above conjectures confirmed by later additions of b-file from Andrew Howroyd and program from Jean-François Alcover with connection to A302997. - Ray Chandler, Jun 27 2024

a(n) = 1 +1126/315*n +84668/2835*n^3 -418/45*n^2 +2152/135*n^5 -64/15*n^6 +584/945*n^7 -2/45*n^8 -152/5*n^4 +4/2835*n^9. - R. J. Mathar, Aug 03 2025

Empirical g.f.: -(1201*x^16 +46896*x^15 +180864*x^14 -238504*x^13 -86788*x^12 +380032*x^11 -353440*x^10 +186568*x^9 -65418*x^8 +17264*x^7 -3968*x^6 +1000*x^5 -164*x^4 -32*x^3 +32*x^2 -8*x +1) / (x -1)^17. - Colin Barker, Jul 07 2013

Above conjecture confirmed by later additions of b-file from Andrew Howroyd and program from Jean-François Alcover with connection to A302997. - Ray Chandler, Jun 27 2024

From Chai Wah Wu, Jun 24 2024: (Start)

a(n) = 26*a(n-1) - 325*a(n-2) + 2600*a(n-3) - 14950*a(n-4) + 65780*a(n-5) - 230230*a(n-6) + 657800*a(n-7) - 1562275*a(n-8) + 3124550*a(n-9) - 5311735*a(n-10) + 7726160*a(n-11) - 9657700*a(n-12) + 10400600*a(n-13) - 9657700*a(n-14) + 7726160*a(n-15) - 5311735*a(n-16) + 3124550*a(n-17) - 1562275*a(n-18) + 657800*a(n-19) - 230230*a(n-20) + 65780*a(n-21) - 14950*a(n-22) + 2600*a(n-23) - 325*a(n-24) + 26*a(n-25) - a(n-26) for n > 25.

G.f.: (17661*x^25 + 2780045*x^24 + 57398752*x^23 + 196406336*x^22 - 384767594*x^21 - 344776842*x^20 + 1472178776*x^19 - 1618643528*x^18 + 654551287*x^17 + 375150567*x^16 - 758544352*x^15 + 613843168*x^14 - 335122748*x^13 + 139534596*x^12 - 47458608*x^11 + 14003344*x^10 - 3738565*x^9 + 903851*x^8 - 193728*x^7 + 38944*x^6 - 8826*x^5 + 2406*x^4 - 616*x^3 + 120*x^2 - 15*x + 1)/(x - 1)^26. (End)

From Chai Wah Wu, Jun 24 2024: (Start)

a(n) = 37*a(n-1) - 666*a(n-2) + 7770*a(n-3) - 66045*a(n-4) + 435897*a(n-5) - 2324784*a(n-6) + 10295472*a(n-7) - 38608020*a(n-8) + 124403620*a(n-9) - 348330136*a(n-10) + 854992152*a(n-11) - 1852482996*a(n-12) + 3562467300*a(n-13) - 6107086800*a(n-14) + 9364199760*a(n-15) - 12875774670*a(n-16) + 15905368710*a(n-17) - 17672631900*a(n-18) + 17672631900*a(n-19) - 15905368710*a(n-20) + 12875774670*a(n-21) - 9364199760*a(n-22) + 6107086800*a(n-23) - 3562467300*a(n-24) + 1852482996*a(n-25) - 854992152*a(n-26) + 348330136*a(n-27) - 124403620*a(n-28) + 38608020*a(n-29) - 10295472*a(n-30) + 2324784*a(n-31) - 435897*a(n-32) + 66045*a(n-33) - 7770*a(n-34) + 666*a(n-35) - 37*a(n-36) + a(n-37) for n > 36.

G.f.: (-281965*x^36 - 162444640*x^35 - 11761370826*x^34 - 212144886152*x^33 - 928459493209*x^32 + 1366727925344*x^31 + 5450543439600*x^30 - 13901610703968*x^29 + 5010411747228*x^28 + 24002105533408*x^27 - 48129204006968*x^26 + 44288625555072*x^25 - 17538634969732*x^24 - 9564481773600*x^23 + 21935655852496*x^22 - 20357294743904*x^21 + 13092000949610*x^20 - 6522919407712*x^19 + 2638636104868*x^18 - 890508942928*x^17 + 255606629458*x^16 - 63337866464*x^15 + 13802270992*x^14 - 2818810912*x^13 + 658326476*x^12 - 212266848*x^11 + 77735560*x^10 - 24527552*x^9 + 5749644*x^8 - 823648*x^7 - 5328*x^6 + 40416*x^5 - 12645*x^4 + 2368*x^3 - 298*x^2 + 24*x - 1)/(x - 1)^37. (End)

From Chai Wah Wu, Jun 24 2024: (Start)

a(n) = 50*a(n-1) - 1225*a(n-2) + 19600*a(n-3) - 230300*a(n-4) + 2118760*a(n-5) - 15890700*a(n-6) + 99884400*a(n-7) - 536878650*a(n-8) + 2505433700*a(n-9) - 10272278170*a(n-10) + 37353738800*a(n-11) - 121399651100*a(n-12) + 354860518600*a(n-13) - 937845656300*a(n-14) + 2250829575120*a(n-15) - 4923689695575*a(n-16) + 9847379391150*a(n-17) - 18053528883775*a(n-18) + 30405943383200*a(n-19) - 47129212243960*a(n-20) + 67327446062800*a(n-21) - 88749815264600*a(n-22) + 108043253365600*a(n-23) - 121548660036300*a(n-24) + 126410606437752*a(n-25) - 121548660036300*a(n-26) + 108043253365600*a(n-27) - 88749815264600*a(n-28) + 67327446062800*a(n-29) - 47129212243960*a(n-30) + 30405943383200*a(n-31) - 18053528883775*a(n-32) + 9847379391150*a(n-33) - 4923689695575*a(n-34) + 2250829575120*a(n-35) - 937845656300*a(n-36) + 354860518600*a(n-37) - 121399651100*a(n-38) + 37353738800*a(n-39) - 10272278170*a(n-40) + 2505433700*a(n-41) - 536878650*a(n-42) + 99884400*a(n-43) - 15890700*a(n-44) + 2118760*a(n-45) - 230300*a(n-46) + 19600*a(n-47) - 1225*a(n-48) + 50*a(n-49) - a(n-50) for n > 49.

G.f.: (4767165*x^49 + 9677003929*x^48 + 2099328748968*x^47 + 119350380239392*x^46 + 2336719571000548*x^45 + 15324790943793868*x^44 + 3669334003469912*x^43 - 165626545771418640*x^42 + 113225352874515162*x^41 + 773012391447229738*x^40 - 1795431077729032904*x^39 + 730347243679248128*x^38 + 3231774434773792276*x^37 - 7249751867677049972*x^36 + 7289414576709914312*x^35 - 2539411927923481168*x^34 - 3778300058198325229*x^33 + 7735724342915171551*x^32 - 7916127405687211504*x^31 + 5585783179325618368*x^30 - 2805508704881709112*x^29 + 850333720624628056*x^28 + 70648743414492144*x^27 - 307395947231217952*x^26 + 255873188698001516*x^25 - 149186455600233620*x^24 + 70664753999062000*x^23 - 28617884750559104*x^22 + 10133301697903944*x^21 - 3168161807821640*x^20 + 878763873242640*x^19 - 217944520543264*x^18 + 49563849545395*x^17 - 11011796480281*x^16 + 2633696463048*x^15 - 709532404192*x^14 + 200891132244*x^13 - 53924504996*x^12 + 12812092728*x^11 - 2574294736*x^10 + 411639898*x^9 - 44187894*x^8 + 222808*x^7 + 1253248*x^6 - 348508*x^5 + 59708*x^4 - 7256*x^3 + 624*x^2 - 35*x + 1)/(x - 1)^50. (End)

From Chai Wah Wu, Jun 24 2024: (Start)

a(n) = 65*a(n-1) - 2080*a(n-2) + 43680*a(n-3) - 677040*a(n-4) + 8259888*a(n-5) - 82598880*a(n-6) + 696190560*a(n-7) - 5047381560*a(n-8) + 31966749880*a(n-9) - 179013799328*a(n-10) + 895068996640*a(n-11) - 4027810484880*a(n-12) + 16421073515280*a(n-13) - 60992558771040*a(n-14) + 207374699821536*a(n-15) - 648045936942300*a(n-16) + 1867897112363100*a(n-17) - 4981058966301600*a(n-18) + 12321566916640800*a(n-19) - 28339603908273840*a(n-20) + 60727722660586800*a(n-21) - 121455445321173600*a(n-22) + 227068876035237600*a(n-23) - 397370533061665800*a(n-24) + 651687674221131912*a(n-25) - 1002596421878664480*a(n-26) + 1448194831602515360*a(n-27) - 1965407271460556560*a(n-28) + 2507588587725537680*a(n-29) - 3009106305270645216*a(n-30) + 3397378086595889760*a(n-31) - 3609714217008132870*a(n-32) + 3609714217008132870*a(n-33) - 3397378086595889760*a(n-34) + 3009106305270645216*a(n-35) - 2507588587725537680*a(n-36) + 1965407271460556560*a(n-37) - 1448194831602515360*a(n-38) + 1002596421878664480*a(n-39) - 651687674221131912*a(n-40) + 397370533061665800*a(n-41) - 227068876035237600*a(n-42) + 121455445321173600*a(n-43) - 60727722660586800*a(n-44) + 28339603908273840*a(n-45) - 12321566916640800*a(n-46) + 4981058966301600*a(n-47) - 1867897112363100*a(n-48) + 648045936942300*a(n-49) - 207374699821536*a(n-50) + 60992558771040*a(n-51) - 16421073515280*a(n-52) + 4027810484880*a(n-53) - 895068996640*a(n-54) + 179013799328*a(n-55) - 31966749880*a(n-56) + 5047381560*a(n-57) - 696190560*a(n-58) + 82598880*a(n-59) - 8259888*a(n-60) + 677040*a(n-61) - 43680*a(n-62) + 2080*a(n-63) - 65*a(n-64) + a(n-65) for n > 64.

G.f.: (-84067061*x^64 - 594125181016*x^63 - 358570175617596*x^62 - 54327645405793088*x^61 - 3007970153301973684*x^60 - 70751321058233331176*x^59 - 708431535121140613196*x^58 - 2104975430248540461904*x^57 + 7171233759979214996564*x^56 + 26759036706964389777864*x^55 - 84577727700353397526076*x^54 - 73337885044523755892064*x^53 + 585766983871140782043948*x^52 - 749552695685318041092424*x^51 - 663783692725740379098444*x^50 + 3481577378759511387361808*x^49 - 5029057516240412205421408*x^48 + 2295741278263309504970632*x^47 + 4465915792456106045467604*x^46 - 11106570988074196912272256*x^45 + 13029987601836099080685500*x^44 - 9070951669662352149834568*x^43 + 2002580090771753282869636*x^42 + 4165095558738342937158448*x^41 - 7062324054366106555437196*x^40 + 6773432434485734087377832*x^39 - 4796019421500025574195564*x^38 + 2635532999045053804031968*x^37 - 1085317387474474986646692*x^36 + 259933601983184071258712*x^35 + 56307130989018479346756*x^34 - 116766236029728805998320*x^33 + 89058999733157906895070*x^32 - 50464950061171488516488*x^31 + 23885136813307640501836*x^30 - 9854425855777159898944*x^29 + 3617070497318070669412*x^28 - 1195315679370871226424*x^27 + 359133844367687460892*x^26 - 99368370792899666288*x^25 + 25879804048463556508*x^24 - 6579045200791562280*x^23 + 1710956693102496716*x^22 - 471046038930846112*x^21 + 136593427213299332*x^20 - 40151798043444568*x^19 + 11465968341859484*x^18 - 3084886129169232*x^17 + 767059307842552*x^16 - 173956391417768*x^15 + 35556089847068*x^14 - 6452545668608*x^13 + 1013173798292*x^12 - 129833639064*x^11 + 11162193836*x^10 + 177547664*x^9 - 332491236*x^8 + 86590648*x^7 - 15352100*x^6 + 2104096*x^5 - 227340*x^4 + 19016*x^3 - 1172*x^2 + 48*x - 1)/(x - 1)^65. (End)

From Chai Wah Wu, Jun 24 2024: (Start)

a(n) = 82*a(n-1) - 3321*a(n-2) + 88560*a(n-3) - 1749060*a(n-4) + 27285336*a(n-5) - 350161812*a(n-6) + 3801756816*a(n-7) - 35641470150*a(n-8) + 293052087900*a(n-9) - 2139280241670*a(n-10) + 14002561581840*a(n-11) - 82848489359220*a(n-12) + 446107250395800*a(n-13) - 2198671448379300*a(n-14) + 9967310565986160*a(n-15) - 41738112995067045*a(n-16) + 162042085745554410*a(n-17) - 585151976303390925*a(n-18) + 1971038235969316800*a(n-19) - 6208770443303347920*a(n-20) + 18330655594514646240*a(n-21) - 50825908693881519120*a(n-22) + 132589327027517006400*a(n-23) - 325948762275979307400*a(n-24) + 756201128480271993168*a(n-25) - 1657825550899057831176*a(n-26) + 3438452994457305131328*a(n-27) - 6754104096255420793680*a(n-28) + 12576607627510093891680*a(n-29) - 22218673475267832541968*a(n-30) + 37270032926255719102656*a(n-31) - 59399114976220052319858*a(n-32) + 89998659054878867151300*a(n-33) - 129703949814384249718050*a(n-34) + 177879702602584113899040*a(n-35) - 232231833953373704257080*a(n-36) + 288720658428518659346640*a(n-37) - 341906042875877359752600*a(n-38) + 385740150936887277669600*a(n-39) - 414670662257153823494820*a(n-40) + 424784580848791721628840*a(n-41) - 414670662257153823494820*a(n-42) + 385740150936887277669600*a(n-43) - 341906042875877359752600*a(n-44) + 288720658428518659346640*a(n-45) - 232231833953373704257080*a(n-46) + 177879702602584113899040*a(n-47) - 129703949814384249718050*a(n-48) + 89998659054878867151300*a(n-49) - 59399114976220052319858*a(n-50) + 37270032926255719102656*a(n-51) - 22218673475267832541968*a(n-52) + 12576607627510093891680*a(n-53) - 6754104096255420793680*a(n-54) + 3438452994457305131328*a(n-55) - 1657825550899057831176*a(n-56) + 756201128480271993168*a(n-57) - 325948762275979307400*a(n-58) + 132589327027517006400*a(n-59) - 50825908693881519120*a(n-60) + 18330655594514646240*a(n-61) - 6208770443303347920*a(n-62) + 1971038235969316800*a(n-63) - 585151976303390925*a(n-64) + 162042085745554410*a(n-65) - 41738112995067045*a(n-66) + 9967310565986160*a(n-67) - 2198671448379300*a(n-68) + 446107250395800*a(n-69) - 82848489359220*a(n-70) + 14002561581840*a(n-71) - 2139280241670*a(n-72) + 293052087900*a(n-73) - 35641470150*a(n-74) + 3801756816*a(n-75) - 350161812*a(n-76) + 27285336*a(n-77) - 1749060*a(n-78) + 88560*a(n-79) - 3321*a(n-80) + 82*a(n-81) - a(n-82) for n > 81.

G.f.: (1531046745*x^81 + 37629363909561*x^80 + 60910478841274160*x^79 + 22692135624769352656*x^78 + 3051112489111143719748*x^77 + 182743417550563269125860*x^76 + 5391526437441978477353312*x^75 + 80041119412764105726852224*x^74 + 539379738398173139841277318*x^73 + 647699260881629183333986918*x^72 - 7989223516876238336737126160*x^71 - 12774523001212039169523214384*x^70 + 90868458232184825854869444948*x^69 + 9961204642352094145352597556*x^68 - 650486793393993631469462571904*x^67 + 1072690784463518809629349466080*x^66 + 1124591260331408873527675548429*x^65 - 6587774366867101805917880003891*x^64 + 9267857687649372118847520699328*x^63 + 1019072080071938213250050873920*x^62 - 25710534135862165895484919152688*x^61 + 47725920832157335096974766078544*x^60 - 41094813876365875588246615837056*x^59 - 4394643113518995905564855128320*x^58 + 68363869390243095954705114560520*x^57 - 112322138020333087270795291430520*x^56 + 108909557638999866203793326322624*x^55 - 61140924715403484185640087609024*x^54 - 3215219671853421195850132951088*x^53 + 53297880651258703228130688288080*x^52 - 73359380166899341912142263806720*x^51 + 66258471510827434111312760792192*x^50 - 45166241884218194291371759235998*x^49 + 23127479865994788873548670929058*x^48 - 7358973306797937413485331420000*x^47 - 876412121599079114637226054816*x^46 + 3595705573939454744441406194488*x^45 - 3458872947132781074301865227272*x^44 + 2397198228199907936546571423808*x^43 - 1375328979512740079865051420160*x^42 + 685154480102195157707484548772*x^41 - 302911512091749441001248762140*x^40 + 120184595167399620030534400544*x^39 - 43066201460804678074693977504*x^38 + 14010981403336965980045662424*x^37 - 4177993483015491659621760744*x^36 + 1169647391924421023982667776*x^35 - 324729630999815660632236224*x^34 + 97570387312116493409058674*x^33 - 33687344643258478622663054*x^32 + 12869099817254805056047808*x^31 - 4977069781798663663370432*x^30 + 1826781292369630931036688*x^29 - 617426561247315140668784*x^28 + 189936218849842719217280*x^27 - 52923403282803010747136*x^26 + 13310306860847778095752*x^25 - 3008378759077764560376*x^24 + 607421180775591469248*x^23 - 108808863989330938816*x^22 + 17234564509009873040*x^21 - 2457233204409912304*x^20 + 345123783698851584*x^19 - 58446173814172544*x^18 + 13097273614375941*x^17 - 3210812788606875*x^16 + 713474660619696*x^15 - 130749518510256*x^14 + 17787275237284*x^13 - 1125478021052*x^12 - 257451935392*x^11 + 118227694976*x^10 - 28322270394*x^9 + 5080536358*x^8 - 735578000*x^7 + 87758928*x^6 - 8622732*x^5 + 687444*x^4 - 43136*x^3 + 2016*x^2 - 63*x + 1)/(x - 1)^82. (End)