A097166 Expansion of g.f. (1+2*x)/((1-x)*(1-10*x)).

1, 13, 133, 1333, 13333, 133333, 1333333, 13333333, 133333333, 1333333333, 13333333333, 133333333333, 1333333333333, 13333333333333, 133333333333333, 1333333333333333, 13333333333333333, 133333333333333333, 1333333333333333333, 13333333333333333333, 133333333333333333333

Offset: 0

Author

Paul Barry, Jul 30 2004

Keywords

• nonn
• easy

Comments

Partial sums of (1+2*x)/(1-10*x) = {1, 12, 120, 1200, ...}.

Second binomial transform of A082365.

These terms are the x's of A070152 and the corresponding y's are A350995 (see formula and examples). - Bernard Schott, Feb 15 2022

Examples

			a(0) = (4-1)/3 = 1 and Sum_{j=1..5} = 15.
a(1) = (40-1)/3 = 13 and Sum_{j=13..53} = 1353.
a(2) = (400-1)/3 = 133 and Sum_{j=133..533} = 133533.
		

Links

• Vincenzo Librandi, Table of n, a(n) for n = 0..200
• Diophante, A1945 - Concaténations en tous genres (in French).
• Richard Hoshino, Astonishing Pairs of Numbers, Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem 27:1 (2001), pp. 39-44.
• Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (11,-10).

Crossrefs

Cf. A056698 (index of primes), A082365, A097169, A309907 (squares of this).

Cf. A070152, A070153, A186074, A198970, A350994, A350995.

Programs

Magma

[(4*10^n-1)/3 : n in [0..20]]; // Vincenzo Librandi, Nov 01 2011

Maple

a:= n-> parse(cat(1, 3$n)):
seq(a(n), n=0..18);  # Alois P. Heinz, Aug 23 2019

Mathematica

NestList[10#+3&,1,20] (* Harvey P. Dale, Jan 22 2014 *)

Python

[(4*10**n-1)//3 for n in range(25)] # Gennady Eremin, Mar 04 2022

Formula

a(n) = (4*10^n - 1)/3.

a(n) = A097169(2*n).

a(n) = 10*a(n-1) + 3, n>0. a(n) = 11*a(n-1) - 10*a(n-2), n>1. - Vincenzo Librandi, Nov 01 2011

A350994(n) = Sum_{j=a(n)..A350995(n)} = a(n).A350995(n) where "." means concatenation. - Bernard Schott, Jan 28 2022

From Elmo R. Oliveira, Apr 29 2025: (Start)

E.g.f.: exp(x)*(4*exp(9*x) - 1)/3.

a(n) = A198970(n)/3. (End)