A002280 -id:A002280 - cp's OEIS frontend

A069882 Numbers n such that n and 2n-1 are both palindromes.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 66, 666, 6666, 66666, 666666, 6666666, 66666666, 666666666, 6666666666, 66666666666, 666666666666, 6666666666666, 66666666666666, 666666666666666, 6666666666666666, 66666666666666666, 666666666666666666

Offset: 1

Amarnath Murthy, Apr 30 2002

From Chai Wah Wu, Jul 20 2020: (Start)
Theorem: a(n) = 2*(10^(n-5)-1)/3 for n > 5.
Proof: clearly 2*(10^m-1)/3 are terms of this sequence. Next we show that all terms > 10 are of the form 2*(10^m-1)/3. Let k > 10 be a term of the sequence. Let x be the first digit (and thus also the last digit) of k. If x <> 6 then it is easy to show that the first and last digit of 2k-1 will not be the same. Thus x = 6. Let the digits of k be written as 6y****y6. Similarly if y <> 6 then again the second digit of 2k-1 will not be the same as the second to last digit of 2k-1. Continuing in this manner, this shows that k written in decimal is a sequence of 6's.
(End)

			66 is a member as 2*66 - 1 = 131 is also a palindrome.

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (11,-10).

Cf. A002280, A069881, A185127, A259050.

From Chai Wah Wu, Jul 20 2020: (Start)
a(n) = 2*(10^(n-5)-1)/3 for n > 5.
a(n) = 11*a(n-1) - 10*a(n-2) for n > 7.
G.f.: x*(50*x^6 - 9*x^5 - 9*x^4 - 9*x^3 - 9*x^2 - 9*x + 1)/((x - 1)*(10*x - 1)).
(End)

More terms from Hans Havermann, Jul 06 2002

A072912 Number of Fibonacci numbers F(k) <= 10^n which end in 0.

Original entry on oeis.org

1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25

Offset: 0

Shyam Sunder Gupta and Benoit Cloitre, Aug 15 2002

			a(2)=6 because there are 6 Fibonacci numbers F(k) <= 10^2 which end in 0.

Different from A002280.

Cf. A008597, A214855.

a(n) = (sum(i=0,ceil(n*log(10)/log((1+sqrt(5))/2)),if(fibonacci(i)%10+1+sign(fibonacci(i)-10^n),0,1)))

a(n) = ceiling(n*log(10)/(15*log(phi))) +0 or +1.

A332162 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 - 4*10^n.

Original entry on oeis.org

2, 626, 66266, 6662666, 666626666, 66666266666, 6666662666666, 666666626666666, 66666666266666666, 6666666662666666666, 666666666626666666666, 66666666666266666666666, 6666666666662666666666666, 666666666666626666666666666, 66666666666666266666666666666, 6666666666666662666666666666666

Offset: 0

M. F. Hasler, Feb 09 2020

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (111,-1110,1000).

Cf. A002275 (repunits R_n = (10^n-1)/9), A002280 (6*R_n), A011557 (10^n).
Cf. A138148 (cyclops numbers with binary digits), A002113 (palindromes).
Cf. A332112 .. A332192 (variants with different repeated digit 1, ..., 9).
Cf. A332160 .. A332169 (variants with different middle digit 0, ..., 9).

A332162 := n -> 6*(10^(2*n+1)-1)/9-4*10^n;

Array[6 (10^(2 # + 1)-1)/9 - 4*10^# &, 15, 0]

apply( {A332162(n)=10^(n*2+1)\9*6-4*10^n}, [0..15])

def A332162(n): return 10**(n*2+1)//9*6-4*10**n

a(n) = 6*A138148(n) + 2*10^n = A002280(2n+1) - 4*10^n = 2*A332131(n).
G.f.: (2 + 404*x - 1000*x^2)/((1 - x)(1 - 10*x)(1 - 100*x)).
a(n) = 111*a(n-1) - 1110*a(n-2) + 1000*a(n-3) for n > 2.

A332163 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 - 3*10^n.

Original entry on oeis.org

3, 636, 66366, 6663666, 666636666, 66666366666, 6666663666666, 666666636666666, 66666666366666666, 6666666663666666666, 666666666636666666666, 66666666666366666666666, 6666666666663666666666666, 666666666666636666666666666, 66666666666666366666666666666, 6666666666666663666666666666666

Offset: 0

M. F. Hasler, Feb 09 2020

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (111,-1110,1000).

Cf. A002275 (repunits R_n = (10^n-1)/9), A002280 (6*R_n), A011557 (10^n).
Cf. A138148 (cyclops numbers with binary digits), A002113 (palindromes).
Cf. A332113 .. A332193 (variants with different repeated digit 1, ..., 9).
Cf. A332160 .. A332169 (variants with different middle digit 0, ..., 9).

A332163 := n -> 6*(10^(2*n+1)-1)/9-3*10^n;

Array[6 (10^(2 # + 1)-1)/9 - 3*10^# &, 15, 0]

apply( {A332163(n)=10^(n*2+1)\9*6-3*10^n}, [0..15])

def A332163(n): return 10**(n*2+1)//9*6-3*10**n

a(n) = 6*A138148(n) + 3*10^n = A002280(2n+1) - 3*10^n = 3*A332121(n).
G.f.: (3 + 303*x - 900*x^2)/((1 - x)(1 - 10*x)(1 - 100*x)).
a(n) = 111*a(n-1) - 1110*a(n-2) + 1000*a(n-3) for n > 2.

A332164 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 - 2*10^n.

Original entry on oeis.org

4, 646, 66466, 6664666, 666646666, 66666466666, 6666664666666, 666666646666666, 66666666466666666, 6666666664666666666, 666666666646666666666, 66666666666466666666666, 6666666666664666666666666, 666666666666646666666666666, 66666666666666466666666666666, 6666666666666664666666666666666

Offset: 0

M. F. Hasler, Feb 09 2020

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (111,-1110,1000).

Cf. A002275 (repunits R_n = (10^n-1)/9), A002280 (6*R_n), A011557 (10^n).
Cf. A138148 (cyclops numbers with binary digits), A002113 (palindromes).
Cf. A332114 .. A332194 (variants with different repeated digit 1, ..., 9).
Cf. A332160 .. A332169 (variants with different middle digit 0, ..., 9).

A332164 := n -> 6*(10^(2*n+1)-1)/9-2*10^n;

Array[6 (10^(2 # + 1)-1)/9 - 2*10^# &, 15, 0]

apply( {A332164(n)=10^(n*2+1)\9*6-2*10^n}, [0..15])

def A332164(n): return 10**(n*2+1)//9*6-2*10**n

a(n) = 6*A138148(n) + 4*10^n = A002280(2n+1) - 2*10^n = 2*A332132(n).
G.f.: (4 + 202*x - 800*x^2)/((1 - x)(1 - 10*x)(1 - 100*x)).
a(n) = 111*a(n-1) - 1110*a(n-2) + 1000*a(n-3) for n > 2.

A332165 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 - 10^n.

Original entry on oeis.org

5, 656, 66566, 6665666, 666656666, 66666566666, 6666665666666, 666666656666666, 66666666566666666, 6666666665666666666, 666666666656666666666, 66666666666566666666666, 6666666666665666666666666, 666666666666656666666666666, 66666666666666566666666666666, 6666666666666665666666666666666

Offset: 0

M. F. Hasler, Feb 09 2020

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (111,-1110,1000).

Cf. A002275 (repunits R_n = (10^n-1)/9), A002280 (6*R_n), A011557 (10^n).
Cf. A138148 (cyclops numbers with binary digits), A002113 (palindromes).
Cf. A332115 .. A332195 (variants with different repeated digit 1, ..., 9).
Cf. A332160 .. A332169 (variants with different middle digit 0, ..., 9).

A332165 := n -> 6*(10^(2*n+1)-1)/9-10^n;

Array[6 (10^(2 # + 1)-1)/9 - 10^# &, 15, 0]

apply( {A332165(n)=10^(n*2+1)\9*6-10^n}, [0..15])

def A332165(n): return 10**(n*2+1)//9*6-10**n

a(n) = 6*A138148(n) + 5*10^n = A002280(2n+1) - 10^n.
G.f.: (5 + 101*x - 700*x^2)/((1 - x)(1 - 10*x)(1 - 100*x)).
a(n) = 111*a(n-1) - 1110*a(n-2) + 1000*a(n-3) for n > 2.

A332168 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 + 2*10^n.

Original entry on oeis.org

8, 686, 66866, 6668666, 666686666, 66666866666, 6666668666666, 666666686666666, 66666666866666666, 6666666668666666666, 666666666686666666666, 66666666666866666666666, 6666666666668666666666666, 666666666666686666666666666, 66666666666666866666666666666, 6666666666666668666666666666666

Offset: 0

M. F. Hasler, Feb 09 2020

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (111,-1110,1000).

Cf. A002275 (repunits R_n = (10^n-1)/9), A002280 (6*R_n), A011557 (10^n).
Cf. A138148 (cyclops numbers with binary digits), A002113 (palindromes).
Cf. A332118 .. A332178, A181965 (variants with different repeated digit 1, ..., 9).
Cf. A332160 .. A332169 (variants with different middle digit 0, ..., 9).

A332168 := n -> 6*(10^(2*n+1)-1)/9+2*10^n;

Array[6 (10^(2 # + 1)-1)/9 + 2*10^# &, 15, 0]
Table[FromDigits[Join[PadRight[{},n,6],{8},PadRight[{},n,6]]],{n,0,20}] (* Harvey P. Dale, Oct 04 2021 *)

apply( {A332168(n)=10^(n*2+1)\9*6+2*10^n}, [0..15])

def A332168(n): return 10**(n*2+1)//9*6+2*10**n

a(n) = 6*A138148(n) + 8*10^n = A002280(2n+1) + 2*10^n = 2*A332134(n).
G.f.: (8 - 202*x - 400*x^2)/((1 - x)(1 - 10*x)(1 - 100*x)).
a(n) = 111*a(n-1) - 1110*a(n-2) + 1000*a(n-3) for n > 2.

cp's OEIS Frontend

A069882 Numbers n such that n and 2n-1 are both palindromes.

Views

Author

Keywords

Comments

Examples

Links

Crossrefs

Formula

Extensions

A072912 Number of Fibonacci numbers F(k) <= 10^n which end in 0.

Views

Author

Keywords

Examples

Crossrefs

Programs

PARI

Formula

A332162 a(n) = 6*(10^(2*n+1)-1)/9 - 4*10^n.

Views

Author

Keywords

Links

Crossrefs

Programs

Maple

Mathematica

PARI

Python

Formula

A332163 a(n) = 6*(10^(2*n+1)-1)/9 - 3*10^n.

Views

Author

Keywords

Links

Crossrefs

Programs

Maple

Mathematica

PARI

Python

Formula

A332164 a(n) = 6*(10^(2*n+1)-1)/9 - 2*10^n.

Views

Author

Keywords

Links

Crossrefs

Programs

Maple

Mathematica

PARI

Python

Formula

A332165 a(n) = 6*(10^(2*n+1)-1)/9 - 10^n.

Views

Author

Keywords

Links

Crossrefs

Programs

Maple

Mathematica

PARI

Python

Formula

A332168 a(n) = 6*(10^(2*n+1)-1)/9 + 2*10^n.

Views

Author

Keywords

Links

Crossrefs

Programs

Maple

Mathematica

PARI

Python

Formula

A332162 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 - 4*10^n.

A332163 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 - 3*10^n.

A332164 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 - 2*10^n.

A332165 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 - 10^n.

A332168 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 + 2*10^n.