A086948 -id:A086948 - cp's OEIS frontend

A246057 a(n) = (5*10^n - 2)/3.

1, 16, 166, 1666, 16666, 166666, 1666666, 16666666, 166666666, 1666666666, 16666666666, 166666666666, 1666666666666, 16666666666666, 166666666666666, 1666666666666666, 16666666666666666, 166666666666666666, 1666666666666666666, 16666666666666666666, 166666666666666666666

Offset: 0

Vincenzo Librandi, Aug 13 2014

a(k-1) = (10^k - 4)/6, together with b(k) = 3*a(k-1) + 2 = A093143(k) and c(k) = 2*a(k-1) + 1 = A002277(k) are k-digit numbers for k >= 1 satisfying the so-called curious cubic identity a(k-1)^3 + b(k)^3 + c(k)^3 = a(k)*10^(2*k) + b(k)*10^k + c(k) (concatenated a(k)b(k)c(k)). This k-family and the proof of the identity has been given in the introduction of the van der Poorten reference. Thanks go to S. Heinemeyer for bringing these identities to my attention. - Wolfdieter Lang, Feb 07 2017

			Curious cubic identities (see a comment and reference above): 1^3 + 5^3 + 3^3 = 153, 16^3 + 50^3 + 33^3 = 165033, 166^3 + 500^3 + 333^3 = 166500333, ... - _Wolfdieter Lang_, Feb 07 2017

Vincenzo Librandi, Table of n, a(n) for n = 0..100
Alf van der Poorten, Kurt Thomsen, and Mark Wiebe, A curious cubic identity and self-similar sums of squares, The Mathematical Intelligencer, Vol. 29(2), pp. 39-41, March 2007.
Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (11,-10).

Cf. sequences with terms of the form 1k..k where the digit k is repeated n times: A000042 (k=1), A090843 (k=2), A097166 (k=3), A099914 (k=4), A099915 (k=5), this sequence (k=6), A246058 (k=7), A246059 (k=8), A067272 (k=9).

Cf. A002277, A086948, A093143, A323639.

Magma
```
[(5*10^n-2)/3: n in [0..20]];
```
Mathematica
```
Table[(5 10^n - 2)/3, {n, 0, 20}]
```

vector(50, n, (5*10^(n-1)-2)/3) \\ Derek Orr, Aug 13 2014

G.f.: (1 + 5*x)/((1 - x)*(1 - 10*x)).
a(n) = 11*a(n-1) - 10*a(n-2).
E.g.f.: exp(x)*(5*exp(9*x) - 2)/3. - Stefano Spezia, May 02 2025
a(n) = A323639(n+1)/2 = A086948(n+1)/12. - Elmo R. Oliveira, May 07 2025

A086947 Numbers k such that R(k+9) = 3.

Original entry on oeis.org

21, 291, 2991, 29991, 299991, 2999991, 29999991, 299999991, 2999999991, 29999999991, 299999999991, 2999999999991, 29999999999991, 299999999999991, 2999999999999991, 29999999999999991, 299999999999999991, 2999999999999999991, 29999999999999999991, 299999999999999999991

Offset: 1

Ray Chandler, Jul 24 2003

If k is in this sequence then Reverse(k) = (2/3)*k - 2. Also A101703 is the sequence of all numbers k such that Reverse(k) = (2/3)*k - 2. So this sequence is a subsequence of A101703. - Farideh Firoozbakht, Dec 30 2004

Vincenzo Librandi, Table of n, a(n) for n = 1..300
Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (11,-10).

Cf. A004086, A085331, A086948, A101700, A101703, A173833.

[3*(10^n-3): n in [1..25] ]; // Vincenzo Librandi, Aug 22 2011

Table[3*(10^n-3), {n, 17}]
Table[FromDigits[PadRight[{3},n,0]],{n,2,20}]-9 (* Harvey P. Dale, Nov 27 2012 *)

a(n) = 3*(10^n - 3).
R(a(n)) = A086948(n).
From Chai Wah Wu, Aug 01 2020: (Start)
a(n) = 11*a(n-1) - 10*a(n-2) for n > 2.
G.f.: x*(60*x + 21)/((x - 1)*(10*x - 1)). (End)
From Elmo R. Oliveira, May 01 2025: (Start)
E.g.f.: 3*(2 - 3*exp(x) + exp(10*x)).
a(n) = 3*A173833(n). (End)

A323639 a(n) = 3*(10^n - 4)/9.

Original entry on oeis.org

-1, 2, 32, 332, 3332, 33332, 333332, 3333332, 33333332, 333333332, 3333333332, 33333333332, 333333333332, 3333333333332, 33333333333332, 333333333333332, 3333333333333332, 33333333333333332, 333333333333333332, 3333333333333333332, 33333333333333333332

Offset: 0

Seiichi Manyama, Aug 31 2019

			        (0+1) * (3*0-1) = -1.
        (3+1) * (3*3-1) = 32.
      (33+1) * (3*33-1) = 3332.
    (333+1) * (3*333-1) = 333332.
  (3333+1) * (3*3333-1) = 33333332.
(33333+1) * (3*33333-1) = 3333333332.
-------------------------------------
        8 * 4 = 32.
      68 * 49 = 3332.
    668 * 499 = 333332.
  6668 * 4999 = 33333332.
66668 * 49999 = 3333333332.

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (11,-10).

Cf. A002277, A073555, A086948, A093137, A198971, A246057.

Table[(10^n-4)/3,{n,0,20}] (* or *) LinearRecurrence[{11,-10},{-1,2},21] (* Harvey P. Dale, Jan 09 2021 *)

PARI
```
{a(n) = 3*(10^n-4)/9}
```

N=40; x='x+O('x^N); Vec((-1+13*x)/((1-x)*(1-10*x)))

G.f.: (-1+13*x)/((1-x)*(1-10*x)).
a(n) = 11*a(n-1) - 10*a(n-2).
a(n) = A002277(n) - 1.
a(n) = 2*A246057(n-1) for n > 0.
a(2*n) = (A002277(n)+1) * (3*A002277(n)-1).
a(2*n) = A073555(n+1) * A198971(n-1) for n > 0.
E.g.f.: exp(x)*(exp(9*x) - 4)/3. - Stefano Spezia, May 02 2025
a(n) = A086948(n)/6 for n >= 1. - Elmo R. Oliveira, May 06 2025

cp's OEIS Frontend

A246057 a(n) = (5*10^n - 2)/3.

Views

Author

Keywords

Comments

Examples

Links

Crossrefs

Programs

Magma

Mathematica

PARI

Formula

A086947 Numbers k such that R(k+9) = 3.

Views

Author

Keywords

Comments

Links

Crossrefs

Programs

Magma

Mathematica

Formula

A323639 a(n) = 3*(10^n - 4)/9.

Views

Author

Keywords

Examples

Links

Crossrefs

Programs

Mathematica

PARI

PARI

Formula