A002280 -id:A002280 - cp's OEIS frontend

A351471 Numbers m such that the largest digit in the decimal expansion of 1/m is 5.

2, 4, 8, 18, 20, 22, 32, 40, 66, 74, 80, 180, 185, 198, 200, 220, 222, 320, 396, 400, 444, 492, 660, 666, 702, 704, 738, 740, 800, 803, 876, 1800, 1818, 1845, 1848, 1850, 1875, 1912, 1980, 1998, 2000, 2200, 2220, 2222, 2409, 2424, 2466, 2849, 3075, 3200, 3212, 3276, 3960, 3996, 4000

Offset: 1

Bernard Schott and Robert G. Wilson v, Feb 14 2022

If k is a term, 10*k is also a term.
First few primitive terms are 2, 4, 8, 18, 22, 32, 66, 74, 185, 198, 222, 396, ...
2 and 4649 are the only primes up to 2.6*10^8 (see comments in A333237).
Some subsequences:
{2, 22, 222, 2222, ...} = A002276 \ {0}.
{66, 666, 6666, ...} = A002280 \ {0, 6}.
{18, 1818, 181818, ...} = 18 * A094028.

			As 1/8 = 0.125, 8 is a term.
As 1/4649 = 0.000215121512151..., 4649 is a term.

Index entries for sequences related to decimal expansion of 1/n.

Subsequences: A002276, A002280.
Similar with largest digit k: A333402 (k=1), A341383 (k=2), A350814 (k=3), A351470 (k=4), this sequence (k=5), A351472 (k=6), A351473 (k=7), A351474 (k=8), A333237 (k=9).
Cf. A333236.

f[n_] := Union[ Flatten[ RealDigits[ 1/n][[1]] ]]; Select[Range@1500000, Max@ f@# == 5 &]

from itertools import count, islice
from sympy import n_order, multiplicity
def A351471_gen(startvalue=1): # generator of terms >= startvalue
    for m in count(max(startvalue, 1)):
        m2, m5 = multiplicity(2, m), multiplicity(5, m)
        if max(str(10**(max(m2, m5)+n_order(10, m//2**m2//5**m5))//m)) == '5':
            yield m
A351471_list = list(islice(A351471_gen(), 10)) # Chai Wah Wu, Feb 15 2022

A319170 Triangular numbers of the form 2..21..1; n_times 2 followed with n_times 1; n >= 1.

Original entry on oeis.org

21, 2211, 222111, 22221111, 2222211111, 222222111111, 22222221111111, 2222222211111111, 222222222111111111, 22222222221111111111, 2222222222211111111111, 222222222222111111111111, 22222222222221111111111111, 2222222222222211111111111111, 222222222222222111111111111111, 22222222222222221111111111111111

Offset: 1

Ctibor O. Zizka, Sep 12 2018

Triangular numbers of the form (5^(2x)*2^(2x+1)-10^x-1)/9. - Harvey P. Dale, Sep 16 2019

			a(1) = A000217(6) = 21; a(2) = A000217(66) = 2211; a(3) = A000217(666) = 222111.

Colin Barker, Table of n, a(n) for n = 1..500
Jiri Sedlacek, Trojuhelnikova cisla, In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 60-71.
Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (111,-1110,1000).

Cf. A000217, A002280, A002283, A199682.

Select[Table[FromDigits[Join[PadRight[{},n,2],PadRight[{},n,1]]],{n,20}], OddQ[ Sqrt[8#+1]]&] (& or *) Select[Table[(5^(2x) 2^(2x+1)-10^x-1)/9,{x,20}],OddQ[Sqrt[8#+1]]&] (* Harvey P. Dale, Sep 16 2019 *)

Vec(3*x*(7 - 40*x) / ((1 - x)*(1 - 10*x)*(1 - 100*x)) + O(x^20)) \\ Colin Barker, Sep 13 2018

For n >= 1, a(n) = 2..21..1; n_times 2 followed with n_times 1.
a(n) = A000217(n_times 6), that is a(n) = A000217(A002280(n)).
a(n) = 1/9 * (2*10^n + 1) * (10^n - 1), that is a(n) = 1/9 * A199682(n) * A002283(n).
From Colin Barker, Sep 13 2018: (Start)
G.f.: 3*x*(7 - 40*x) / ((1 - x)*(1 - 10*x)*(1 - 100*x)).
a(n) = 111*a(n-1) - 1110*a(n-2) + 1000*a(n-3) for n>3
(End)

A034984 a(n)^2 is smallest square starting with a string of n 4's.

Original entry on oeis.org

2, 21, 667, 6667, 66667, 666667, 6666667, 21081851, 666666667, 6666666667, 66666666667, 210818510678, 2108185106779, 66666666666667, 210818510677892, 6666666666666667, 66666666666666667, 666666666666666667, 6666666666666666667, 66666666666666666667

Offset: 1

Patrick De Geest, Nov 15 1998

			a(5)^2 = 66667^2 = {44444}88889.

Robert Israel, Table of n, a(n) for n = 1..996

Cf. A034985.

f:= proc(n) local x, k, s;
  x:= 4*(10^n-1)/9;
  for k from 0 do
    s:= ceil(sqrt(10^k*x));
    if s^2 < (x+1)*10^k then return s fi
  od
end proc:
map(f, [$1..30]); # Robert Israel, May 31 2023

a(n) <= A002280(n)+1. - Robert Israel, May 31 2023

More terms from Francisco Salinas (franciscodesalinas(AT)hotmail.com), Dec 23 2001

A073549 Number of Fibonacci numbers F(k), k <= 10^n, which end in 6.

Original entry on oeis.org

0, 6, 66, 666, 6666, 66666, 666666, 6666666, 66666666, 666666666, 6666666666, 66666666666, 666666666666, 6666666666666, 66666666666666, 666666666666666, 6666666666666666, 66666666666666666, 666666666666666666, 6666666666666666666, 66666666666666666666, 666666666666666666666, 6666666666666666666666, 66666666666666666666666

Offset: 1

Shyam Sunder Gupta, Aug 15 2002

Apart from offset same as A002280. - Joerg Arndt, Jan 14 2018

			a(2)=6 because there are 6 Fibonacci numbers up to Fibonacci(10^2) which end in 6.

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (11,-10).

A073549 := [seq((10^n - 10)/15, n=1..100)]; # Muniru A Asiru, Jan 14 2018

LinearRecurrence[{11,-10},{0,6},30] (* or *) Table[(10^n-10)/15,{n,30}] (* Harvey P. Dale, Sep 08 2018 *)

a(n) = (10^n - 10)/15. - Robert Gerbicz, Sep 06 2002

a(n) = a(n-1) + 6*10^(n-2), with a(1)=0. - Vincenzo Librandi, Aug 08 2010

More terms from Robert Gerbicz, Sep 06 2002

A119100 Numbers k such that the k-th triangular number contains only digits {1,2,4}.

Original entry on oeis.org

1, 6, 66, 666, 1686, 2913, 6666, 9406, 15761, 66666, 666666, 6666666, 47140518, 66666666, 206951318, 666666666, 1512753193, 6666666666, 9406509886, 66666666666, 297026066681, 666666666666, 6666666666666, 66666666666666

Offset: 1

Giovanni Resta, May 10 2006

After 0, A002280 is a subsequence because A000217(A002280(m)) = (2*(10^m-1)/9)*10^m + (10^m-1)/9, which provides numbers of the type 22..2211..11 where 2's and 1's are repeated m times. - Bruno Berselli, Feb 24 2016

G. Resta, Tridigital Triangular Numbers

Cf. A000217, A002280, A119099.

See A119034 for a table of cross-references.

[n: n in [1..2*10^7] | Set(Intseq(n*(n+1) div 2)) subset [1,2,4]]; // Vincenzo Librandi, Feb 24 2016

Select[Range[2 10^7], Complement[IntegerDigits[# (# + 1)/2], {1, 2, 4}] == {} &] (* Vincenzo Librandi, Feb 24 2016 *)

A289006 Conversion to octal of the binary expansion given by the first n terms of the period-3 sequence A011655 (repeat 0, 1, 1).

Original entry on oeis.org

0, 1, 3, 6, 15, 33, 66, 155, 333, 666, 1555, 3333, 6666, 15555, 33333, 66666, 155555, 333333, 666666, 1555555, 3333333, 6666666, 15555555, 33333333, 66666666, 155555555, 333333333, 666666666, 1555555555, 3333333333, 6666666666, 15555555555, 33333333333, 66666666666, 155555555555, 333333333333, 666666666666

Offset: 1

Peter Schonefeld, Jun 21 2017

The length of the n-th term is floor((n+1)/3) digits, for all n>1. [Corrected by M. F. Hasler, Jun 23 2017]

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (0, 0, 11, 0, 0, -10).

A033129(n-1) written in base 8.

Cf. A011655. Trisections: A099915, A002277, A002280.

{ my(x='x+O('x^33)); concat([0],Vec( x*(1+x)*(1+2*x+4*x^2)/((1-x)*(1+x+x^2)*(1-10*x^3)) )) } \\ Joerg Arndt, Jun 21 2017

A289006(n)=if(n%3==2,10^(n\3+1)\6-10^(n\3)\9,10^(n\3)\3<<(n%3)) \\ M. F. Hasler, Jun 23 2017

a(3n) = floor(10^n/3) (= n times the digit '3'), a(3n+1) = floor(10^n/3)*2 (= n times the digit '6'), a(3n+2) = floor(10^(n+1)/6) - floor(10^n/9) (= digit '1' followed by n digits '5'). - M. F. Hasler, Jun 23 2017

G.f.: x^2*(1+x)*(4*x^2+2*x+1) / ( (x-1)*(1+x+x^2)*(10*x^3-1) ). - R. J. Mathar, Jun 29 2017

A308900 An explicit example of an infinite sequence with a(1)=1 and, for n >= 2, a(n) and S(n) = Sum_{i=1..n} a(i) have no digit in common.

Original entry on oeis.org

1, 6, 4, 66, 34, 666, 334, 6666, 3334, 66666, 33334, 666666, 333334, 6666666, 3333334, 66666666, 33333334, 666666666, 333333334, 6666666666, 3333333334, 66666666666, 33333333334, 666666666666, 333333333334, 6666666666666, 3333333333334, 66666666666666, 33333333333334

Offset: 1

N. J. A. Sloane, Jul 15 2019

Used in a proof that the initial terms of A309151 are correct.
The S(n) sequence is 1, 7, 11, 77, 111, 777, 1111, 7777, 11111, 77777, ...
A093137 interleaved with positive terms of A002280. - Felix Fröhlich, Jul 15 2019

Robert Israel, Table of n, a(n) for n = 1..1999
R. Israel, Re: Help with a(n) and a cumulative sum, Seqfan (Jul 15 2019).
Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (-1,10,10).

Cf. A002280, A093137, A309151.

Cf. A289404.

I:=[1,6,4]; [n le 3 select I[n] else - Self(n-1) + 10*Self(n-2) + 10*Self(n-3): n in [1..30]]; // Vincenzo Librandi, Jul 20 2019

1, seq(op([6*(10^i-1)/9, 3*(10^i-1)/9+1]), i=1..30); # Robert Israel, Jul 15 2019

CoefficientList[Series[(1 + 7 x)/((1 + x) (1 - 10 x^2)), {x, 0, 26}], x] (* Michael De Vlieger, Jul 18 2019 *)
LinearRecurrence[{-1,10,10},{1,6,4},30] (* Harvey P. Dale, Jan 02 2022 *)

Vec((1+7*x)/((1+x)*(1-10*x^2)) + O(x^20)) \\ Felix Fröhlich, Jul 15 2019

a(n) = if(n==1, 1, if(n%2==0, 6*(10^(n/2)-1)/9, 3*(10^((n-1)/2)-1)/9+1)) \\ Felix Fröhlich, Jul 15 2019

For even n >= 2, a(n) = 6666...66 (with n/2 6's). For odd n >= 5, a(n) = 3333...334 (with (n-3)/2 3's and a single 4).
From Robert Israel, Jul 15 2019: (Start)
G.f. (1+7*x)/((1+x)*(1-10*x^2)).
a(n) = -a(n - 1) + 10*a(n - 2) + 10*a(n - 3). (End)
a(-n) = a(n+1). - Paul Curtz, Jul 18 2019
a(n) = (1/60)*(-40*(-1)^n + (1 + (-1)^n)*(2^(2+n/2)*5^(1+n/2)) + (1 + (-1)^(n+1))*10^((1+n)/2)). - Stefano Spezia, Jul 20 2019

A332161 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 - 5*10^n.

Original entry on oeis.org

1, 616, 66166, 6661666, 666616666, 66666166666, 6666661666666, 666666616666666, 66666666166666666, 6666666661666666666, 666666666616666666666, 66666666666166666666666, 6666666666661666666666666, 666666666666616666666666666, 66666666666666166666666666666, 6666666666666661666666666666666

Offset: 0

M. F. Hasler, Feb 09 2020

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (111,-1110,1000).

Cf. A002275 (repunits R_n = (10^n-1)/9), A002280 (6*R_n), A011557 (10^n).
Cf. A138148 (cyclops numbers with binary digits), A002113 (palindromes).
Cf. A332121 .. A332191 (variants with different repeated digit 2, ..., 9).
Cf. A332160 .. A332169 (variants with different middle digit 0, ..., 9).

A332161 := n -> 6*(10^(2*n+1)-1)/9-5*10^n;

Array[6 (10^(2 # + 1)-1)/9 - 5*10^# &, 15, 0]

apply( {A332161(n)=10^(n*2+1)\9*6-5*10^n}, [0..15])

def A332161(n): return 10**(n*2+1)//9*6-5*10**n

a(n) = 6*A138148(n) + 1*10^n = A002280(2n+1) - 5*10^n.
G.f.: (1 + 505*x - 1100*x^2)/((1 - x)(1 - 10*x)(1 - 100*x)).
a(n) = 111*a(n-1) - 1110*a(n-2) + 1000*a(n-3) for n > 2.

A332167 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 + 10^n.

Original entry on oeis.org

7, 676, 66766, 6667666, 666676666, 66666766666, 6666667666666, 666666676666666, 66666666766666666, 6666666667666666666, 666666666676666666666, 66666666666766666666666, 6666666666667666666666666, 666666666666676666666666666, 66666666666666766666666666666, 6666666666666667666666666666666

Offset: 0

M. F. Hasler, Feb 09 2020

Index entries for linear recurrences with constant coefficients, signature (111,-1110,1000).

Cf. A002275 (repunits R_n = (10^n-1)/9), A002280 (6*R_n), A011557 (10^n).
Cf. A138148 (cyclops numbers with binary digits), A002113 (palindromes).
Cf. A332117 .. A332197 (variants with different repeated digit 1, ..., 9).
Cf. A332160 .. A332169 (variants with different middle digit 0, ..., 9).

A332167 := n -> 6*(10^(2*n+1)-1)/9+10^n;

Array[6 (10^(2 # + 1)-1)/9 + 10^# &, 15, 0]

apply( {A332167(n)=10^(n*2+1)\9*6+10^n}, [0..15])

def A332167(n): return 10**(n*2+1)//9*6+10**n

a(n) = 6*A138148(n) + 7*10^n = A002280(2n+1) + 10^n.
G.f.: (7 - 101*x - 500*x^2)/((1 - x)(1 - 10*x)(1 - 100*x)).
a(n) = 111*a(n-1) - 1110*a(n-2) + 1000*a(n-3) for n > 2.

A365644 Array read by ascending antidiagonals: A(n, k) = k*(10^n - 1)/9 with k >= 0.

Original entry on oeis.org

0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 11, 2, 0, 0, 111, 22, 3, 0, 0, 1111, 222, 33, 4, 0, 0, 11111, 2222, 333, 44, 5, 0, 0, 111111, 22222, 3333, 444, 55, 6, 0, 0, 1111111, 222222, 33333, 4444, 555, 66, 7, 0, 0, 11111111, 2222222, 333333, 44444, 5555, 666, 77, 8, 0

Offset: 0

Stefano Spezia, Sep 14 2023

			The array begins:
  0,     0,     0,     0,     0,     0, ...
  0,     1,     2,     3,     4,     5, ...
  0,    11,    22,    33,    44,    55, ...
  0,   111,   222,   333,   444,   555, ...
  0,  1111,  2222,  3333,  4444,  5555, ...
  0, 11111, 22222, 33333, 44444, 55555, ...
  ...

Cf. A000004 (n=0 or k=0), A001477 (n=1), A002275 (k=1), A002276 (k=2), A002277 (k=3), A002278 (k=4), A002279 (k=5), A002280 (k=6), A002281 (k=7), A002282 (k=8), A002283 (k=9), A008593 (n=2), A053422 (main diagonal), A105279 (k=10), A132583, A177769 (n=3), A365645 (antidiagonal sums), A365646.

A[n_,k_]:=k(10^n-1)/9; Table[A[n-k,k],{n,0,9},{k,0,n}]//Flatten

O.g.f.: x*y/((1 - x)*(1 - 10*x)*(1 - y)^2).
E.g.f.: y*exp(x+y)*(exp(9*x) - 1)/9.
A(n, 11) = A132583(n-1) for n > 0.
A(n, 12) = A073551(n+1) for n > 0.

cp's OEIS Frontend

A351471 Numbers m such that the largest digit in the decimal expansion of 1/m is 5.

Views

Author

Keywords

Comments

Examples

Links

Crossrefs

Programs

Mathematica

Python

A319170 Triangular numbers of the form 2..21..1; n_times 2 followed with n_times 1; n >= 1.

Views

Author

Keywords

Comments

Examples

Links

Crossrefs

Programs

Mathematica

PARI

Formula

A034984 a(n)^2 is smallest square starting with a string of n 4's.

Views

Author

Keywords

Examples

Links

Crossrefs

Programs

Maple

Formula

Extensions

A073549 Number of Fibonacci numbers F(k), k <= 10^n, which end in 6.

Views

Author

Keywords

Comments

Examples

Links

Programs

Maple

Mathematica

Formula

Extensions

A119100 Numbers k such that the k-th triangular number contains only digits {1,2,4}.

Views

Author

Keywords

Comments

Links

Crossrefs

Programs

Magma

Mathematica

A289006 Conversion to octal of the binary expansion given by the first n terms of the period-3 sequence A011655 (repeat 0, 1, 1).

Views

Author

Keywords

Comments

Links

Crossrefs

Programs

PARI

PARI

Formula

A308900 An explicit example of an infinite sequence with a(1)=1 and, for n >= 2, a(n) and S(n) = Sum_{i=1..n} a(i) have no digit in common.

Views

Author

Keywords

Comments

Links

Crossrefs

Programs

Magma

Maple

Mathematica

PARI

A332161 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 - 5*10^n.

A332167 a(n) = 6(10^(2n+1)-1)/9 + 10^n.